河南省师范大学附属中学2014高中数学 第2章 圆锥曲线同步练习
10 理（实验班）新人教A版选修2-1
一、选择题
1．过抛物线y＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1) 、B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，那么，|AB|等于( ) A．8
22
2
B．10 C．6 D．4
22
2．到点(－1,0)与直线x＝3的距离相等的点的轨迹方程为( ) A．x＝－4y＋4 B．y＝－4x＋4 C．x＝－8y＋8 D．y＝－8x＋8
3．设抛物线y＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是( ) A．4
B．6 C．8
2
2
D．12
4．已知A、B在抛物线y＝2px(p>0)上，O为坐标原点，如果|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰好是此抛物线的焦点F，则直线AB的方程是( ) A．x－p＝0
B．4x－3p＝0
C．2x－5p＝0 D．2x－3p＝0
→→2
5．过抛物线y＝4x的焦点的直线交抛物线于A、B两点O为坐标原点，则OA·OB的值是( ) A．12 A．圆 二填空题
7．已知点A(4,0)，M是抛物线y＝6x上的动点，当点M到A距离最小时，M点坐标为________． 8．已知抛物线C：y＝2px(p>0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为3的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若AM＝MB，则p＝________. 三解答题
9．已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.
(1)求曲线C的方程；
→→(2)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有FA·FB<0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
1
2
2
B．－12 C．3 D．－3
D．抛物线
6．若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为( )
B．椭圆 C．双曲线
→→52
10．已知过抛物线y＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A、B两点，且|AB|＝p，求AB2所在的直线方程．
2
练习十
1.A；2.D；3.B；4.C；5.D；6.D；7. (1，±6)；8.2；
9. [解析] (1)设P(x，y)是曲线C上任意一点，那么点P(x，y)满足： (x－1)＋y－x＝1(x>0) 化简得y＝4x(x>0)
(2)设过点M(m,0)(m>0)的直线l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
??x＝ty＋m设l的方程为x＝ty＋m，由?2
?y＝4x?
222
得y－4ty－4m＝0，
2
此时Δ＝16(t＋m)>0.
??y1＋y2＝4t于是?
?y1·y2＝－4m?
2
①
→→
又FA＝(x1－1，y1)，FB＝(x2－1，y2)
→→
FA·FB<0?(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1·x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2<0②
(y1y2)12
又x＝，于是不等式②等价于·＋y1y2－(＋)＋1<0?＋y1y2－[(y1＋y2)－
44444642y1y2]＋1<0③
由①式，不等式③等价于m－6m＋1<4t④
对任意实数t,4t的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于m－6m＋1<0，即3－22 由此可知，存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任意一直线，都有→→ FA·FB<0，且m的取值范围是(3－22，3＋22)． 2 2 2 2 y2y2y212y2y212 2 p5 10. [解析] 解法1：焦点F(，0)，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，若AB⊥Ox，则|AB|＝2p 22 所以直线AB的斜率存在，设为k，则直线AB的方程为y＝k(x－)，k≠0. 2 pp??y＝k(x－)，2由? ??y2＝2px， 2 消去x，整理得ky－2py－kp＝0. 22 2p2由韦达定理得，y1＋y2＝，y1y2＝－p. k∴|AB|＝(x1－x2)＋(y1－y2) ＝ ＝ 1152 1＋2·(y1＋y2)－4y1y2＝2p(1＋2)＝p. kk212(1＋2)·(y1－y2) 2 k解得k＝±2. ∴AB所在直线方程为y＝2(x－)或y＝－2(x－)． 22 3 pp解法2：如图所示，抛物线y＝2px(p>0)的准线为x＝－，A(x1，y1)，B(x2，y2)，设A、B2到准线的距离分别为dA，dB，由抛物线的定义知，|AF|＝dA＝x1＋，|BF|＝dB＝x2＋， 2 ppp22 于是|AB|＝x53 1＋x2＋p＝2p；x1＋x2＝2 p. 当xx＝2p<5 1＝2时，|AB|2p，直线AB与Ox不垂直． 设直线AB的方程为y＝k(x－p2 )． ?由?? y＝k(x－p2)，得k2x2－p(k2 ＋2)x＋122??y2＝2px， 4 kp＝0. xp(k2＋2)p(k2＋2)3 1＋x2＝k2，即k2＝2 p，解得k＝±2. ∴直线AB的方程为y＝2(x－p)或y＝－2(x－p22)． 4
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