辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三数学第五次模拟试题理

x2?(1?a)x?1当a?1时，g'(x)?，

x令?(x)?x?(1?a)x?1，则??(1?a)?4?(a?3)(a?1)?0. 令?(x)?0的两根分别为x1,x2且x1?x2， 则∵x1x2?1，∴0?x1?1?x2

当x?(0,x1)时，?(x)?0，?g'(x)?0，∴g(x)在(0,x1)上为增函数， 当x?(x1，x2)时，?(x)?0，?g'(x)?0，∴g(x)在(x1,x2)上为减函数， 当x?(x2,??)时，?(x)?0，?g'(x)?0，∴ g(x)在(x2,??)上为增函数， ∵g(1)?0，∴g(x)在(x1,x2)上只有一个零点 1，且g(x1)?0,g(x2)?0 ………8分

22?g(e1?(a?)211)?(a?)?(a?)1?(a?12)?(e2?1)?lne2?ae2?a

211)?(a?)?（a?)1?(a?11122?a?(e2?1)2?(a?)?a ?(e12?1)?lne2221)?(a?)1?(a?12?e(e2?2)?0， 2Q0?e1?(a?)2?1，又当x?[x1,1)时，g(x)?0，?0?e1?(a?)2?x1

∴g(x)在(0,x1)上必有一个零点. ………10分

1(2a?1)2?ln(2a?2)?a(2a?2)?a 2112 ?(2a?1)?a(2a?2)??0

22又g(2a?2)?Q2a?2?1，又当x?(1,x2)时，g(x)?0，?2a?2?x2

∴g(x)在(x2,??)上必有一个零点.

综上所述，故a的取值范围为(1,??) ………12分 23.(Ⅰ)由ρ＝6cosθ＋2sinθ，得ρ＝6ρcosθ＋2ρsinθ， 所以x＋y＝6x＋2y，即曲线C的直角坐标方程为x＋y－6x－2y＝0.

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?x＝1－2t由?，消去参数t， ?y＝2＋2t得直线l的普通方程为x＋y－3＝0. ………5分 2

?x＝1－t′?2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知直线l的参数方程可化为?(t′为参数)， ………7分

2

y＝2＋t′??2代入曲线C的直角坐标方程x＋y－6x－2y＝0得t′＋32t′－5＝0. ………9分

由韦达定理，得t′1t′2＝－5，则|QA|·|QB|＝|t′1t′2|＝5. ………10分 23.(Ⅰ)由f(x)?13，得|x?1|?|x?2|?13，

2

2

2

则??x?1??2?x?1?x??2或?或?，

?2x?1?13?3?13??2x?1?13解得：?7?x?6，故不等式f(x)?13的解集为(?7,6). ………5分 （2）证明：因为f(x)?|x?1|?|x?2|?|x?1?(x?2)|?3， 所以k?3，

1k219???1(mn?0)，所以m?0,n?0， 因为?mnmn19n9m?)?(10??)?10?29?16 mnmnn9m当且仅当?，即m?4,n?12时取等号，故m?n?16. ………10分

mnm?n?(m?n)(

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