高中数学人教a版高二选修1-1学业分层测评7_椭圆的简单几何性质 含解析

A.

3－1

2

B.3－1 D．1－

3 2

C．2－3

【解析】 由题意可得△PF1F2是直角三角形，|F1F2|＝2c，|PF1|＝c，|PF2|＝3c.c2c|F1F2|2c

点P在椭圆上，由椭圆的定义可得e＝＝＝＝＝3－1.

a2a|PF1|＋|PF2|c＋3c

【答案】 B

x2y2

2．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一

43→·→的最大值为( ) 点，则OPFP

A．2 B．3

【解析】 由题意得F(－1,0)， 设点P(x0，y0)，

x0??2则y0＝3?1－4?(－2≤x0≤2)，

??

x0?1?→→2222

OP·FP＝x0(x0＋1)＋y0＝x0＋x0＋y0＝x0＋x0＋3?1－4?＝(x0＋2)2＋2，

??4→·→取得最大值为6. 当x0＝2时，OPFP故选C. 【答案】 C

3．椭圆的焦点在y轴上，一个焦点到长轴的两端点的距离之比是1∶4，短轴长为8，则椭圆的标准方程是________.

a－c13

【解析】 由题意得＝，解得c＝a.又短轴长为2b，则2b＝8，即b＝4，故

5a＋c4yx?3?

b＝a－c＝a－?5a?2＝16，则a2＝25.故椭圆的标准方程为＋＝1.

2516??

2

2

2

2

2

2

2

2

C．6 D．8

y2x2

【答案】 ＋＝1

2516

x2y2

4．设F1，F2分别是椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭

ab

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圆E于A，B两点，|AF1|＝3|BF1|.

(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|； 3

(2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率．

5

【解】 (1)由|AF1|＝3|BF1|，|AB|＝4，得|AF1|＝3，|BF1|＝1.

因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8. 故|AF2|＝2a－|AF1|＝8－3＝5.

(2)设|BF1|＝k，则k>0，且|AF1|＝3k，|AB|＝4k. 由椭圆定义可得

|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k. 在△ABF2中，由余弦定理可得

|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|·cos∠AF2B，

6

即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)·(2a－k)，化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，

5而a＋k>0，故a＝3k，

于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k. 因此|BF2|2＝|AF2|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A， 故△AF1F2为等腰直角三角形． 从而c＝

2c2a，所以椭圆E的离心率e＝＝. 2a2

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