洛阳师范学院本科毕业论文
22??4k?!?1103?26390k??. ??k!?43964k?9801k?01这个公式以四次方高速度逼近?的真值.每计算一项可增加8位准确数字.1985年1985年有人利用该公式获得了?的一千七百万位有效数字.
1959年,法国的裘努埃利用IBM704算?,准确到16167位小数.
1961年,美国的伦奇和香克斯于1961年利用IBM7097算?,准确到100265位小数.
法国的吉劳于1966年利用STRETCH计算机计算?,准确到250000位小数. 法国的吉劳于1967年利用CDC6600计算机计算?,准确到500000位小数. 1973年,法国的吉劳就把圆周率?算到了小数点后100万位,并将结果印成一本二百页厚的书,可谓世界上最枯燥无味的书了.
1981年,日本的鹿角理三吉和久仲山利用FACOMM-200计算机,使用公式:
??32arctan算得?的2000038位小数.
111?4arctan?16arctan 102395151986年,美国的贝利在Cray-2巨型计算机上用28小时算出?,准确到29360000位小数.
1986年,日本的廉正蒲田利用NECSX-2巨型计算机计算?,准确到134217700位小数.
1989年突破10亿位大关,人们并不以此为满足.1994年,日本人利用类似的公
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生产出?的40亿位数字,每计算一项可以增加14位准确数字. 1995年超过64亿位.
20世纪九十年代,数学家还发明了关于?的\水龙头\算法.在原先计算出数字的基础上,利用递推方法算出相继的数字,可以在已有基础上接着往下算,不必从头开始.更有意义的是,计算机专家们利用计算机发现了非常漂亮非常有效的公式:
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他们利用这个公式获得了出人意外的结果:在十六进制中,?的第n位数字可以单独算出,而不必先求得n位之前的数字.例如,他无需计算100亿位以前的数字,便可告诉你第100亿位的数字是什么.奇妙之极.
1999年《文摘报》报道,日本东京大学教授金田康正已求到2061.5843亿位的小数值.如果将这些数字打印在A4大小的复印纸上,令每页印2万位数字,那么,这些纸摞起来将高达五六百米.来自最新的报道:金田康正利用一台超级计算机,计算出圆周率?小数点后一兆二千四百一十一亿位数,改写了他本人两年前创造的纪录.据悉,金田教授与日立制作所的员工合作,利用目前计算能力居世界第二十六位的超级计算机,使用新的计算方法,耗时四百多个小时,才计算出新的数位,比他一九九九年九月计算出的小数点后二千六百一十一位提高了六倍.圆周率?小数点后第一兆位数是二,第一兆二千四百一十一亿位数为五.如果一秒钟读一位数,大约四万年后才能读完.
不过,现在打破记录,不管推进到多少位,也不会令人感到特别的惊奇了.实际上,把?的数值算得过分精确,应用意义并不大.现代科技领域使用?的值,有十几位已经足够.如果用鲁道夫的35位小数的?值计算一个能把太阳系包围起来的圆的周长,误差还不到质子直径的百万分之一.我们还可以引美国天文学家西蒙·纽克姆的话来说明这种计算的实用价值:“十位小数就足以使地球周界准确到一英寸以内,三十位小数便能使整个可见宇宙的四周准确到连最强大的显微镜都不能分辨的一个量.”
那么为什么数学家们还象登山运动员那样,奋力向上攀登,一直求下去而不是停止对?的探索呢?为什么其小数值有如此的魅力呢?
这其中大概免不了有人类的好奇心与领先于人的心态作怪,但除此之外,还有许多其它更重要的原因:
1、它现在可以被人们用来测试或检验超级计算机的各项性能,特别是运算速度与计算过程的稳定性.这对计算机本身的改进至关重要.就在几年前,当Intel公司推出奔腾（Pentium）时,发现它有一点小问题,这问题正是通过运行?的计算而找到的.这正是超高精度的?计算直到今天仍然有重要意义的原因之一.
2、计算的方法和思路可以引发新的概念和思想.虽然计算机的计算速度超出
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任何人的想象,但毕竟还需要由数学家去编制程序,指导计算机正确运算.实际上,确切地说,当我们把?的计算历史划分出一个电子计算机时期时,这并非意味着计算方法上的改进,而只是计算工具有了一个大飞跃而已.因而如何改进计算技术,研究出更好的计算公式,使公式收敛得更快、能极快地达到较大的精确度仍是数学家们面对的一个重要课题.在这方面,本世纪印度天才数学家拉马努金得出了一些很好的结果.他发现了许多能够迅速而精确地计算?近似值的公式.他的见解开通了更有效地计算?近似值的思路.现在计算机计算?值的公式就是由他得到的.不过,我希望大家能够明白?的故事讲述的是人类的胜利,而不是机器的胜利.
3、还有一个关于?的计算的问题是:我们能否无限地继续算下去?答案是:不行！根据朱达偌夫斯基的估计,我们最多算1077位.虽然,现在我们离这一极限还相差很远很远,但这毕竟是一个界限.为了不受这一界限的约束,就需要从计算理论上有新的突破.前面我们所提到的计算,不管用什么公式都必须从头算起,一旦前面的某一位出错,后面的数值完全没有意义.还记得令人遗憾的谢克斯吗?他就是历史上最惨痛的教训.
4、于是,有人想能否计算时不从头开始,而是从半截开始呢?这一根本性的想法就是寻找并行算法公式.1996年,圆周率的并行算法公式终于找到,但这是一个16进位的公式,这样很容易得出的1000亿位的数值,只不过是16进位的.是否有10进位的并行计算公式,仍是未来数学的一大难题.
5、作为一个无穷数列,数学家感兴趣的把?展开到上亿位,能够提供充足的数据来验证人们所提出的某些理论问题,可以发现许多迷人的性质.如,在?的十进制展开中,10个数字,哪些比较稀,哪些比较密??的数字展开中某些数字出现的频率会比另一些高吗?或许它们并非完全随意?这样的想法并非是无聊之举.只有那些思想敏锐的人才会问这种貌似简单,许多人司空见惯但却不屑发问的问题.
6、数学家弗格森最早有过这种猜想:在?的数值式中各数码出现的概率相同.正是他的这个猜想为发现和纠正向谢克斯计算?值的错误立下了汗马功劳.然而,猜想并不等于现实.弗格森想验证它,却无能为力.后人也想验证它,也是苦于已知的?值的位数太少.甚至当位数太少时,人们有理由对猜想的正确性做出怀疑.如,数字0的出现机会在开始时就非常少.前50位中只有1个0,第一次出现在32位上.
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可是,这种现象随着数据的增多,很快就改变了:100位以内有8个0;200位以内有19个0;?1000万位以内有999,440个0;??60亿位以内有599,963,005个0,几乎占1／10.其他数字又如何呢?结果显示,每一个都差不多是1／10,有的多一点,有的少一点.虽然有些偏差,但都在1／10000之内.
7、人们还想知道:?的数字展开真的没有一定的模式吗?我们希望能够在十进制展开式中通过研究数字的统计分布,寻找任何可能的模型——如果存在这种模型的话,迄今为止尚未发现有这种模型.同时我们还想了解:?的展开式中含有无穷的样式变化吗?或者说,是否任何形式的数字排列都会出现呢?著名数学家希尔伯特在没有发表的笔记本中曾提出下面的问题:?的十进展开中是否有10个9连在一起?以现在算到的60亿位数字来看,已经出现:连续6个9连在一起.希尔伯特的问题答案似乎应该是肯定的,看来任何数字的排列都应该出现,只是什么时候出现而已.但这还需要更多?的数位的计算才能提供切实的证据.
8、在这方面,还有如下的统计结果:在60亿数字中已出现连在一起的8个8;9个7;10个6;小数点后第710150位与3204765位开始,均连续出现了7个3;小数点52638位起连续出现了14142135这八个数字,这恰是的前八位;小数点后第2747956位起,出现了有趣的数列876543210,遗憾的是前面缺个9;还有更有趣的数列123456789也出现了.在众多的数学与计算机专家求?的过程中,发现了一些很有启发性的现象,例如314159数字段重复过6次,但从未见到过0123456789数字段的出现.
20世纪90年代有报道说,国外有人把圆周率?的值算到了小数点之后十亿多位.但近来,这方面的报道比较沉寂.既然早已证明?是一个超越数了,想在其小数展开中发现什么规律性,必然是要落空的.
也有人想在?序列中寻找素数,这件事由来已久,人们一眼就可看出3与31都是素数,但后来有一个很长的时间间隔,这桩工作似乎停滞不前了.后来经过人们的艰苦试除,终于肯定314159这个很不寻常的六位数也是一个素数.
然而,几乎到此为止,人们再也不能前进半步了.工作停滞下来,足足有十个世纪之久.到了1979年,人们才发现了?序列中的第四个素数,即314159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41,这个长达38位的“天文素数”是被两位美国数学
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