专题45 直线及其方程
1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素； 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；
3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.
1．直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角
①定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角；②规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；③范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π)． (2)直线的斜率
π
①定义：当直线l的倾斜角α≠时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，
2斜率通常用小写字母k表示，即k＝tan__α；
②斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝2．直线方程的五种形式 名称 斜截式 点斜式 两点式 几何条件 纵截距、斜率 过一点、斜率 过两点 方程 适用条件 与x轴不垂直的直线 y2－y1
． x2－x1
y＝kx＋b y－y0＝k(x－x0) y－y1x－x1＝ y2－y1x2－x1xy＋＝1 abAx＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 与两坐标轴均不垂直的直线 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 所有直线 截距式 一般式 纵、横截距 3.线段的中点坐标公式 - 1 -
??2
若点P，P的坐标分别为(x，y)，(x，y)，线段PP的中点M的坐标为(x，y)，则?y＋yy＝??2，
1
2
1
1
2
2
12
1
2
x1＋x2x＝，此公式为线段P1P2的中点坐标公式．
高频考点一 直线的倾斜角与斜率 例1、(1)直线2xcos α－y－3＝0?α∈?A.?C.?
?
?
?π，π??的倾斜角的取值范围是( )
???63??
?π，π?
?
?63??π，π?
?
?42?
B.?D.?
?π，π?
??43??π，2π?
3??4?
(2)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________.
解析 (1)直线2xcos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α， 13?ππ?因为α∈?，?，所以≤cos α≤， 22?63?因此k＝22cos α∈[1，3].
设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3].
?ππ?又θ∈[0，π)，所以θ∈?，?， ?43??ππ?即倾斜角的取值范围是?，?. ?43?
1－0
(2)如图，∵kAP＝＝1，
2－1
kBP＝
3－0
＝－3， 0－1
∴直线l的斜率k∈(－∞，－3]∪[1，＋∞).
- 2 -
答案 (1)B (2)(－∞，－3]∪[1，＋∞)
【方法规律】(1)①任一直线都有倾斜角，但斜率不一定都存在；直线倾斜角的范围是[0，π)，斜率的取值范围是R.
②正切函数在[0，π)不单调，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围. (2)第(2)问求解要注意两点：①斜率公式的正确计算；②数形结合写出斜率的范围，切莫错误想当然认为－3≤k≤1.
【变式探究】 (1)直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率
k的取值范围是( )
1A.－1 5 1 B.－1 2 1 D.k>或k<－1 2 2 1 C.k>或k<－1 5 (2)直线l经过点A(3，1)，B(2，－m)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是________. 高频考点二 求直线的方程 例2、根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为 10 ； 10 (2)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (3)直线过点(5，10)，且到原点的距离为5. 解 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式. 设倾斜角为α，则sin α＝ 10 (0≤α<π)， 10 3101 从而cos α＝±，则k＝tan α＝±. 1031 故所求直线方程为y＝±(x＋4). 3 - 3 - 即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0. (2)由题设知纵横截距不为0，设直线方程为＋又直线过点(－3，4)， －34从而＋＝1，解得a＝－4或a＝9. a12－a故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0. (3)当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0满足题意； 当斜率存在时，设其为k， 则所求直线方程为y－10＝k(x－5)， 即kx－y＋10－5k＝0. |10－5k|3 由点线距离公式，得＝5，解得k＝. 4k2＋1故所求直线方程为3x－4y＋25＝0. 综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0. 【方法规律】根据各种形式的方程，采用待定系数的方法求出其中的系数，在求直线方程时凡涉及斜率的要考虑其存在与否，凡涉及截距的要考虑是否为零截距以及其存在性. 【举一反三】 求适合下列条件的直线方程： (1)经过点P(4，1)，且在两坐标轴上的截距相等； (2)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍； (3)经过点B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形. xy＝1， a12－a (2)由已知：设直线y＝3x的倾斜角为α ，则所求直线的倾斜角为2α. - 4 -
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