(2)由(1)知a＝3，则直线l的方程为
x0x3
－y0y＝1(y0≠0)，即y＝
x0x－3
(y0≠0)． 3y0
?2x0－3?，直线l与直线x＝3的
因为直线AF的方程为x＝2，所以直线l与AF的交点为M?2，
3y0?2??
3
x0－332
交点为N，，
23y0|MF|
则2＝|NF|
2
（2x0－3）＝2＝ 29y902
?3x0－3?＋（x0－2）?2?441??＋24（3y0）
2
（2x0－3）
2
（3y0）
2
2
4（2x0－3）222. 33y0＋3（x0－2）
又P(x0，y0)是C上一点，则－y0＝1，
3
|MF|4（2x0－3）4（2x0－3）4|MF|223
代入上式得＝，所以＝＝，为定2＝222＝22
|NF|3x0－3＋3（x0－2）34x0－12x0＋93|NF|33值．
2
2
2
x20
2
x2y2
3．（20142四川卷）已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的
ab一个端点构成正三角形． (1)求椭圆C的标准方程．
(2)设F为椭圆C的左焦点，T为直线x＝－3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，
Q.
- 9 -
①证明：OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)； |TF|②当最小时，求点T的坐标．
|PQ|
?a2＋b2＝2b，
【解析】解：(1)由已知可得? 22?2c＝2a－b＝4，
解得a2
＝6，b2
＝2，
所以椭圆C的标准方程是x2y2
6＋2
＝1.
(2)①证明：由(1)可得，F的坐标是(－2，0)，设T点的坐标为(－3，m)，
则直线TF的斜率km－0
TF＝－3－（－2）
＝－m.
当m≠0时，直线PQ的斜率k1
PQ＝m.直线PQ的方程是x＝my－2.
当m＝0时，直线PQ的方程是x＝－2，也符合x＝my－2的形式．
?x＝my－设P(xy?2，1，1)，Q(x2， y2)，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得?22
?x?6＋y2
＝1.消去x，得(m2
＋3)y2
－4my－2＝0， 其判别式Δ＝16m2
＋8(m2
＋3)>0. 所以ym1＋ym2＋3，y－2
2＝
41y2＝m2＋3
， x－12
1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝m2＋3
. 设M为PQ的中点，则M点的坐标为??－6?m2＋3，2mm2＋3???
. 所以直线OM的斜率kmOM＝－3，
又直线OT的斜率kmOT＝－3，
所以点M在直线OT上， 因此OT平分线段PQ. ②由①可得， |TF|＝m2
＋1，
|PQ|＝（x2
2
1－x2）＋（y1－y2） ＝（m2
＋1）[（y1＋y2）2
－4y1y2] ＝
（m2
＋1）???4m?2－2????m2＋3??－42m2＋3??
- 10 -
24（m＋1）＝. m2＋3|TF|所以＝|PQ|
1（m＋3）2＝ 24m2＋1
13
（4＋4）＝. 243
2
2
2
41?2
m＋1＋2＋4?≥?m＋1?24??当且仅当m＋1＝2
24|TF|
，即m＝±1时，等号成立，此时取得最小值． m＋1|PQ|
|TF|
故当最小时，T点的坐标是(－3，1)或(－3，－1)．
|PQ|
1.直线3x－y＋a＝0(a为常数)的倾斜角为( ) A.30° B.60° C.120°
D.150°
解析 直线的斜率为k＝tan α＝3，又因为0°≤α＜180°，所以α＝60°. 答案 B
2.已知直线l过圆x＋(y－3)＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则直线l的方程是( )
A.x＋y－2＝0 C.x＋y－3＝0
2
22
2
B.x－y＋2＝0 D.x－y＋3＝0
解析 圆x＋(y－3)＝4的圆心为点(0，3)，又因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，所以直线l的斜率k＝1.由点斜式得直线l：y－3＝x－0，化简得x－y＋3＝0. 答案 D
3.直线x＋(a＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )
2
?π?A.?0，? 4??
B.?
?3π，π?
?
?4?
?π??π??ππ??3π?C.?0，?∪?，π? D.?，?∪?，π?
4??2???42??4?
解析 ∵直线的斜率k＝－答案 B
4.经过抛物线y＝2x的焦点且平行于直线3x－2y＋5＝0的直线l的方程是( ) A.6x－4y－3＝0 C.2x＋3y－2＝0
B.3x－2y－3＝0 D.2x＋3y－1＝0
2
1?3π?，∴－1≤k＜0，则倾斜角的范围是?，π?.
a＋1?4?
2
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5.若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线
l的斜率为( )
1A. 3
132 B.－ C.－ D.
323
?a＋7＝2，?
解析 依题意，设点P(a，1)，Q(7，b)，则有?
??b＋1＝－2，
解得
a＝－5，b＝－3，从而可知直线l的斜率为
答案 B
－3－11
＝－. 7＋53
6.在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是( )
解析 当a>0，b>0时，－a<0，－b<0.选项B符合. 答案 B
7.已知直线l的斜率为3，在y轴上的截距为另一条直线x－2y－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为( ) A.y＝3x＋2 1
C.y＝3x＋
2
B.y＝3x－2 D.y＝－3x＋2
1
解析 ∵直线x－2y－4＝0的斜率为，
2
∴直线l在y轴上的截距为2，∴直线l的方程为y＝3x＋2，故选A. 答案 A
8.若直线ax＋by＝ab(a＞0，b＞0)过点(1，1)，则该直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为( )
A.1 B.2 C. 4 D.8
解析 ∵直线ax＋by＝ab(a＞0，b＞0)过点(1，1)，
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