2015年山东省数学奥林匹克

2015年山东省数学奥林匹克

考试时间：150分钟 试卷满分：120分

一、填空题（每小题8分，共40分）

1.方程x4?x3?x2?4x?20?0的有理数根是 2.19992015除以29的余数是 3.记[n]为不超过n的最大整数，则?[i]?

i?120154.将一正方形划分为20?20的正方形小格，连接某些正方形小格的对角线，使得任意两条

对角线没有公共顶点，则连接对角线条数的最大值为

5.等边三角形ABC的边长为2，分别以A,B,C为圆心，2为半径作三个圆A,B,C。圆A

与圆B交于P，过A作边BC的垂线交圆A于G，以P为圆心，PG为半径作圆交BC 于M，交AC于N，则MN?

二、解答题（每小题20分，共80分）

6.给定素数p，数列{an}满足a1?p,an?1?[(1? 求证：{an}中有无穷多项与p互素。

1)an]，其中[x]为不超过x的最大整数。 p7.如图，一圆外接于三角形ABC，D为弧ACB的中 点，E为弧ABC的中点，F为弧AD上一点，J 为三角形ABC的一个旁心。EF交AC于H，ED 交JF于G。延长EF交CD于S，过J作GS平 行线交EF延长线于K。求证：SK?SH.

8.设A?{a1,a2,?,am}为正偶数集合，设B?{b1,b2,?,bm}为正

奇数集合，且有

?a??bii?1mkj?2015，求2m?3k的最大值。

j?19.设集合M?{1,2,?,36}，现将M中n个元素删去，使得剩余元素中任意两个的和都不

是2015的因数，求n的最小值。