中考压轴题的研究与复习策略

中考压轴题的研究与复习策略

刘勇华

【摘要】 本文通过对近年广东省中考数学压轴题的初探，分析考查的数学知识、方法和思想，

提出解答的一些策略。

【关键词】 压轴题；策略；变换；规律；代数与几何。

中考复习备考时间紧，任务重，要求高，如何提高数学中考复习备考的质量和效益，是每位毕业班数学教师必须面对的问题。尤其是压轴题，我们老师讲了，学生练了，但很多同学总觉得心中还是没有底,这是为什么呢？我认为是对基础知识掌握不牢，对基本概念尚未完全把握所致。有些同学是做了很多题，但仅限于得到了答案，而没有从中找到解题的方法，没有从中找到规律，因而无论题做多少都觉得心中没有底。下面结合近几年中考压轴题，谈几点粗浅体会。

1 近几年广东中考压轴题考查情况

1.1 近几年中考压轴题型一览

20题 2008年 阅读理解题 （韦达定理） 旋转变换 直角三角形、等腰22题 梯形、平移、平面直角坐标系等相关的综合运用 2009年 旋转变换 阅读理解 （换元法） 正方形中的动点问题、全等、相似及最大面积求解 2010年 旋转变换 2011年 代数找规律 几何综合（相似、等腰直角三角形） 二次函数中线动问题、特殊平行 四边形 21题 代数找规律 动点问题、相似、矩形、三角形、 最值问题的 综合运用 1.2 几个考查的知识点

1、几何题设计新颖，大多数是牵涉到图形变换，其中以平移、旋转、翻折等图形变换为解题思路的题目更是成为中考压轴大戏的主角，而且几乎每份试卷都有。

2、规律探索或阅读理解题，这类题目本身蕴含着数学探索思想，给出一段文字或式子来理解推理，体现了从特殊到一般的发现规律，是中考的一个重难点。

3、函数与几何综合问题，（坐标系下）考查动点问题，求最值问题或存在性问题，此类题目考查的知识点多且繁，对综合能力有较高的要求。

2 策略与建议

中考数学压轴题近些年来与数形结合、动态几何、动手操作、实验探究、规律探索等方向密切联系。这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等。从数学思想的层面上讲：运动观点、方程思想、数形结合思想、分类思想、转化思想等。这就要求学生具备扎实的基础知识和熟练的基本技能。

2.1 熟练掌握图形变换，尤其是旋转变换

我们的同学一碰到运动的问题就心神不宁，我们要给他们吃定心丸，运动是为结果的静止服务的，要教会他们“以静制动”，做到“心如止水”。 近几年的中考，一些题型灵活、设计新颖、富有创意的压轴试题涌现出来，其中一类以平移、旋转、翻折等图形变换为解题思路的题目更是成为中考压轴大戏的主角。不过这些传说中的主角，并没有大家想象的那么神秘，只是我们需要找出这些压轴题目的切入点。

2.1.1 相关知识

平移，我们简单地概括为：“一变，两不变，三对应，两相等，两平行”。即平移前后，一变：图形的位置发生了改变；两不变：形状和大小没有发生改变；三对应：对应点、对应角、对应线段；两相等：对应角相等、对应线段相等；两平行：对应线段平行、对应点所连的线段平行。

旋转：我们将一个旋转中心、三个对应关系和五个相等关系概括为“一中心，三对应，四相等”；将位置发生了变化，形状和大小没有发生变化概括为“一变两不变”。

2.1.2 解题攻略

①要学会挖掘变换前后变与不变隐含的条件，善于处理五种关系：静与动的关系，位置关系，对应关系，相等关系，形状关系。

②构造定理所需的图形或基本图形。

在解决问题的过程中，有时添加辅助线是必不可少的。中考对学生添线的要求还是挺高的，但添辅助线几乎都遵循这样一个原则：构造定理所需的图形或构造一些常见的基本图形。

③做不出、找相似，有相似、用相似。

压轴题牵涉到的知识点较多，知识转化的难度较高。学生往往不知道该怎样入手，这时往往应根据题意去寻找相似三角形。

④学习从复杂图形中分离出基本图形方法。由于图形变化的综合题往往作为压轴题，问题较多，图形复杂，要训练学生快速提炼出有用的图形来研究，排除其他图形的干扰。

⑤要教会学生大胆地让图形按照题意运动起来，细心观察到特殊位置，做出大胆猜想，运用已知条件进行验证，最后证明之。

总之，问题的切入点很多，考试时也不是一定要找到那么多，往往只需找到一两个就行了，关键是找到以后一定要敢于去做。有些同学往往想想觉得不行就放弃了，其实绝大多数的题目只要想到上述切入点，认真做下去，问题基本都可以得到解决。

例2.1.1（2010广东）已知两个全等的直角三角形纸片ABC、DEF，如图（1）放置，点B、D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G.∠C＝∠EFB＝90°，∠E＝∠ABC＝30°，AB＝DE＝4．

（1）求证：?EGB是等腰三角形；

（2）若纸片DEF不动，问?ABC绕点F逆时针旋转最小____度时，四边形ACDE成为以ED为底的梯形（如图（2））．求此梯形的高．

图（1） 图（2）

分析：第(1)问，找好对应关系，纯属送分；第(2)问，让图形按照题意运动起来，30度并不难发现，从而构造出梯形，再分离出基本图形逐步击破。

例2.1.2（2011广东）如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=AC=EF=9，∠BAC=∠DEF=90o，固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE，DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线) 于G，H点，如图(2). A（D） A（D） F B

图(1)

C（E）

B

G C E

图(2)

F H

（1）问：始终与△AGC相似的三角形有△HAB及△HGA；

（2）设CG=x，BH=y，求y关于x的函数关系式（只要求根据图(2)的情形说明理由）； （3）问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形.

分析：利用旋转过程中三角形全等，找到角之间的关系，推得三角形相似；再利用三角形相似得到对应边的比相等而得到函数关系式。解题思路相当清晰，但为什么我们的学生就是团团转，没有个所以然呢？纠其原因，不外乎就是被纷繁的条件困住，这时我们就要发辉“分段得分”思想，有时也不要忘了从结果去找条件来解决问题。第(3)问，有些学生看到题就胡乱计算了，不会将问题中的等腰三角形当成条件来利用，把操作性题目先转为探究性问题来进行；另一方面是考查学生读题、画图的能力和指向性论证能力；要结合到旋转的知识，分类讨论解决之。

2.2 规律探索问题

2.2.1 相关知识

①数列或式，常见数列的一般公式：

等差数列和等比数列的通项公式，以及前n项和公式。 从一次函数的角度来理解等差数列通项公式。

②几何图形（三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆）、全等的性质、相似形（自相似）。 从等比数列的通项公式来理解自相似图形。

2.2.2 解题攻略

①要抓题目里的变量。

数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的量。所谓找规律，多数情况下，是指变量的变化规律。所以，抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键。

②要善于比较。

“有比较才有鉴别”。通过比较，可以发现事物的相同点和不同点，更容易找到事物的变化规律。 找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。揭示的规律，常常包含着事物的序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。

③要善于寻找事物的循环节（周期性）。

规律不可避免地包含着循环规律，找到了事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解。

④要抓住题目中隐藏的不变量。

有些题目，虽然形式发生了变化，但是本质并没有改变。我们只要在观察形式变化的过程中，始终注意寻找它的不变量，就可以揭示出事物的本质规律。

⑤要进行计算尝试。

找规律，当然是找数学规律。而数学规律，多数是数字的规律，有时能用函数的解析式来反映。函数的解析式里常常包含着数学运算。因此，找规律，在很大程度上是在找能够反映已知量的数学运算式子。所以，从运算入手，尝试着做一些计算，也是解答找规律题的好途径。

⑥学会检验。

有些同学能发现规律，但所得表达式却不能准确表示规律，就是没有检验，良好的检验习惯能确保答题的准确率。

例2.2.1（2011广东）下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答.

1

2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16

17 18 19 20 21 22 23 24 25

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

??????????

（1）表中第8行的最后一个数是______________，它是自然数_____________的平方， 第8行共有____________个数；

（2）用含n的代数式表示：第n行的第一个数是____________________，最后一个数

是________________，第n行共有_______________个数；

（3）求第n行各数之和．

分析：第(2)问，抓住变量，每个数递增1，很多同学都知道，但没有用到。原来第n行的第一个数，就是第(n-1)行的最后一个数+1啊！最后不要忘记检验。

例2.2.2（2010广东）阅读下列材料：

11?2?(1?2?3?0?1?2),312?3?(2?3?4?1?2?3),

313?4?(3?4?5?2?3?4),3由以上三个等式相加，可得

1?2?2?3?3?4?13?3?4?5?20．

读完以上材料，请你计算下各题：

（1）1?2?2?3?3?4???10?11（写出过程）； （2）1?2?2?3?3?4???n?(n?1)?_____；

（3）1?2?3?2?3?4?3?4?5???7?8?9?______．

分析：抓住题目中变的和不变的，在给出的等式中，左边的乘数在变化，右边的积后差也在变化；进行比较的因素也比较多，应从上到下、从左而右进行比较；而第(3)问，则需要由题目给出的方法进行尝试的计算来发现规律。

2.3 代数与几何综合题

代数几何综合题从内容上来说，是把代数中的数与式、方程与不等式、函数，几何中的三角形、四边形、圆等图形的性质，以及解直角三角形的方法、图形的变换、相似等内容有机地结合在一起，同时也融入了开放性、探究性等问题，如探究条件、探究结论、探究存在性等。经常考查的题目类型主要有坐标系中的几何问题，以及图形运动过程中求函数解析式问题等。

2.3.1 相关知识

①以动态几何为主线。此类题目以形为载体，依托点动、线动、面动，研究数量关系；通过设、表、列获得函数关系式；研究特殊情况下的函数值。

②函数图像中动点产生几何图形（三角形，特殊四边形）。 点：求图形的最后一个顶点时，先要分析已知图形的边和角的特点，进而得出已知图形是否为特殊图形；根据未知图形中已知边做分类讨论。

角：或利用已知图形中对应角，在未知图形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。

边：若边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用等量关系来列方程求解。

2.3.2 解题攻略

①以形论数，形象；以数折形，精确。要努力培养学生数形结合，动静结合的逻辑思维能力、空间想象能力。需要认真审题，分析、挖掘题目的隐含条件，“翻译”并转化为显性条件。 ②特殊探路，一般推证。将复杂问题分解为基本问题，逐个击破；准确的判断运动会引起哪些图形改变、哪些量的变化，分清“父对象”与“子对象”。 ③动手实践，操作确认。特别要重视运动中的一些关键点，不仅有利于掌握运动的情况，而且这些点往往是发生质变的分界点。

④建立联系，计算说明。要善于联想和转化，将以上得到的显性条件进行恰当地组合，比如说用含有变量的式子表示线段长，在直角坐标系中，水平或垂直的线段长用坐标之差表示；带有时间、速度的题目，用路程表示线段长；把动态问题转化为静态几何来计算说明。

例2.3.1（2011广东）如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=AC=EF=9，