专题十三 推理与证明
第三十八讲 推理与证明
答案部分
1．B【解析】解法一 因为lnx≤x?1(x?0)，所以a1?a2?a3?a4?ln(a1?a2?a3)
≤a1?a2?a3?1，所以a4≤?1，又a1?1，所以等比数列的公比q?0．
2≤0， 若q≤?1，则a1?a2?a3?a4?a1(1?q)(1?q）而a1?a2?a3≥a1?1，所以ln(a1?a2?a3)?0， 与ln(a1?a2?a3)?a1?a2?a3?a4≤0矛盾，
22所以?1?q?0，所以a1?a3?a1(1?q)?0，a2?a4?a1q(1?q)?0，
所以a1?a3，a2?a4，故选B．
x解法二 因为e≥x?1，a1?a2?a3?a4?ln(a1?a2?a3)，
所以ea1?a2?a3?a4?a1?a2?a3≥a1?a2?a3?a4?1，则a4≤?1，
又a1?1，所以等比数列的公比q?0．
2≤0， 若q≤?1，则a1?a2?a3?a4?a1(1?q)(1?q）而a1?a2?a3≥a1?1，所以ln(a1?a2?a3)?0 与ln(a1?a2?a3)?a1?a2?a3?a4≤0矛盾，
22所以?1?q?0，所以a1?a3?a1(1?q)?0，a2?a4?a1q(1?q)?0，
所以a1?a3，a2?a4，故选B．
2．D【解析】解法一 点(2,1)在直线x?y?1上，ax?y?4表示过定点(0,4)，斜率为?ax?ay?2表示过定点(2,0)，的直线，当a?0时，斜率为
1的直线，不等式x?ay≤2a表示的区域包含原点，不等式ax?y?4表示的区域不包含原点．直线ax?y?4与直线x?ay?2互相垂直，显然当直线ax?y?4的斜率?a?0时，不等式ax?y?4表
示的区域不包含点(2,1)，故排除A；点(2,1)与点(0,4)连线的斜率为?3，当233?a??，即a?时，ax?y?4表示的区域包含点(2,1)，此时x?ay?2表示的
2233区域也包含点(2,1)，故排除B；当直线ax?y?4的斜率?a??，即a?时，
22ax?y?4表示的区域不包含点(2,1)，故排除C，故选D．
解法二 若(2,1)?A，则??2a?1?433，解得a?，所以当且仅当a≤时，
22?2?a≤2(2,1)?A．故选D．
3．D【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁一人优秀一人良好，乙
看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果，故选D． 4．B【解析】设O为三角形ABC中心，底面如图2，过O作OE?RP，OF?PQ，
OG?RQ，由题意可知tan??DOODOD，tan??，tan??， OEOFOGDyCQAPEROFBGCQRAGOEP
FBx图1 图2
由图2所示，以P为原点建立直角坐标系，不妨设AB?2，则A(?1,0)，B(1,0)，
C(0,3)，O(0,312323BQCR)，∵AP?PB，)，R(?,)，??2，∴Q(,33333QCRA3x，直线PQ的方程为y?23x，直线RQ的方程为2则直线RP的方程为y??y?
353221391x?，根据点到直线的距离公式，知OE?，OF?，OG?，3921393∴OF?OG?OE，tan??tan??tan?， 因为?，?，?为锐角，所以?????．选B
5．B【解析】由数据可知，进入立定跳远决赛的8人为1~8号，所以进入30秒跳绳决赛的
6人从1~8号里产生．数据排序后可知3号，6号，7号必定进入30秒跳绳决赛，则得分为63，a，60，63，a?l的5人中有3人进入30秒跳绳决赛．若1号，5号学生未进入30秒跳绳决赛，则4号学生就会进入决赛，与事实矛盾，所以l号，5号学生必进入30秒跳绳决赛，故选B．
6．A 【解析】当s?4时，p，q，r都是取0，1，2，3中的一个，有4?4?4?64种，
当s?3时，p，q，r都是取0，1，2中的一个，有3?3?3?27种，当s?2时，p，
q，r都是取0，1中的一个，有2?2?2?8种，当s?1时，p，q，r都取0，有1种，所以card????64?27?8?1?100，当t?0时，u取1，2，3，4中的一个，有4种，当t?1时，u取2，3，4中的一个，有3种，当t?2时，u取3，4中的一个，有2种，当t?3时，u取4，有1种，所以t、u的取值有1?2?3?4?10种， 同理，v、w的取值也有10种，所以card?F??10?10?100， 所以card????card?F??100?100?200，故选D．
7．B【解析】学生甲比学生乙成绩好，即学生甲两门成绩中一门高过学生乙，另一门不低
于学生乙，一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且没有相同的成绩，则存在的情况是，最多有3人，其中一个语文最好，数学最差；另一个语文最差，数学最好；第三个人成绩均为中等．故选B．
8．A【解析】“至少有一个实根”的反面为“没有实根”，故选A．
56789．D【解析】∵5?3125,5?15625,5?78125,5?390625，5?1953125，
9510?9765625,???,∴5n(n?Z,且n≥5)的末四位数字呈周期性变化，且最小正
周期为4,记5(n?Z,且n≥5)的末四位数字为f(n),则f(2011)?f(501?4?7)
n?f(7)，∴52011与57的末位数字相同，均为8 125，选D．
10．D【解析】由给出的例子可以归纳推理得出：若函数f(x)是偶函数，则它的导函数是
奇函数，因为定义在R上的函数f(x)满足f(?x)?f(x)，即函数f(x)是偶函数，所以它的导函数是奇函数，即有g(?x)=?g(x)，故选D．
11．27【解析】所有的正奇数和2n(n?N)按照从小到大的顺序排列构成{an}，在数列{an}
*56中，25前面有16个正奇数，即a21?2，a38?2．当n?1时，S1?1?12a2?24，
不符合题意；当n?2时，S2?3?12a3?36，不符合题意；当n?3时，
S3?6?12a4?48，S4?10?12a5?60，不符合题意；当n?4时，不符合题意；……；
21?(1?41)2?(1?25)?当n?26时，S26?= 441 +62= 503<12a27?516，不符合题
21?222?(1?43)2?(1?25)?意；当n?27时，S27?=484 +62=546>12a28=540，符合题
21?2意．故使得Sn?12an?1成立的n的最小值为27．
12．Q1 p2【解析】设线段AiBi的中点为Ci(xi,yi)，则Qi?2yi，其中i?1,2,3
①由题意只需比较线段AiBi中点的纵坐标的大小即可，作图可得A1B1中点纵坐标比
A2B2,A3B3的中点纵坐标大，所以第一位选Q1．
②由题意pi?yi，只需比较三条线段OC1，OC2OC3斜率的大小，分别作B1,B2,B3xi?,A2B2?,A3B3? 斜率，可得A2B2?最大，所关于原点的对称点B1?,B2?,B3?，比较直线A1B1以选p2.
13．1和3【解析】为方便说明，不妨将分别写有1和2，1和3，2和3的卡片记为A，B，
C从丙出发，由于丙的卡片上的数字之和不是5，则丙只可能是卡片A或B，无论是哪一张，均含有数字1，再由乙与丙的卡片上相同的数字不是1可知，乙所拿的卡片必然是C，最后由甲与乙的卡片上相同的数字不是2，知甲所拿的卡片为B，此时丙所拿的卡片为A．
4n(n+1)． 31111111115．1????????． ????????2342n?12nn?1n?22n14．【解析】根据已知，归纳可得结果为
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