（整理）广义积分的收敛判别法

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第二节 广义积分的收敛判别法

上一节我们讨论了广义积分的计算, 在实际应用中，我们将发现大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo方法求其近似值. 对广义积分而言，求其近似值有一个先决条件 — 积分收敛，否则其结果毫无意义。 因此，判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的． 定理9.1（Cauchy收敛原理）f(x)在[a, +∞ ）上的广义积分???af(x)dx收敛的充分必要条件是：???0, 存在A>0, 使得b, b?>A时，恒有

|?bf(x)dx|??

证明：对limb???bb/???f(x)dx?0使用柯西收敛原理立即得此结论．

ba同样对瑕积分?f(x)dx(b为瑕点), 我们有

定理9.2（瑕积分的Cauchy收敛原理）设函数f(x)在[a,b)上有定义，在其任何闭子区间[a, b–?]上常义可积，则瑕积分?f(x)dx收敛的

ab充要条件是: , ???0, 只要0

|?b??f(x)dx|??

定义9.5如果广义积分?|f(x)|dx收敛，我们称广义积分?a????ab??/f(x)dx绝对收敛（也称f(x)在[a,+?)上绝对可积]; 如?a对收敛，则称???a??f(x)dx收敛而非绝

f(x)dx条件收敛，也称f(x)在[a,+?)上条件可积．

由于?A,A/?a，均有

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|?A/Af(x)dx|??A|f(x)|dx

A/因此，由Cauchy收敛原理，我们得到下列定理． 定理9.3如果广义积分?收敛．

它的逆命题不一定成立，后面我们将会看到这样的例子。 对其它形式的广义积分，类似地有绝对收敛及条件收敛的定义及性质．

下面我们先介绍当被积函数非负时，广义积分收敛的一些判别法． 比较判别法：

定理9.4（无限区间上的广义积分）设在[a,+?)上恒有

??a则广义积分?f(x)dx必f(x)dx绝对收敛，

a??0?f(x)?k?(x),（k为正常数）

则当??(x)dx收敛时,

a 当???a???a??f(x)dx也收敛;

f(x)dx发散时,

?a???(x)dx也发散．

证明：由Cauchy收敛原理马上得结论成立．

对瑕积分有类似的结论判别法

定理9.5 设f(x), g(x) 均为[a,b)上的非负函数，b为两个函数的奇点，如存在一个正常数k, 使

0?f(x)?kg(x),?x?[a, b), 则

1） 如?g(x)dx收敛，则?f(a)dx也收敛。

aabb2）如?f(x)dx发散，则?g(x)dx也发散．

aabb比较判别法在实际应用时，我们常常用下列极限形式．

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定理9.6 如果f(x), g(x)是[a,+?)上的非负函数, 且lim(1) 如果0?l???, 且?(2) 如果0?l???, 且?证明：如果limx??x???f(x)?l,则 g(x)

??ag(x)dx收敛, 则积分?af(x)dx也收敛．

????ag(x)dx发散，则积分?af(x)dx也发散．

??f(x)?l?0,则对于??0(l???0), 存在A, g(x)

f(x)当x?A时, 0?l????l??

g(x)即(l??)g(x)?f(x)?(l??)g(x)成立. 显然

?a??f(x)dx与

?a??g(x)dx同时收敛或同时发散，在l=0或 l=?时，可类似地讨论.

使用同样的方法，我们有

定理9.7 对以b为唯一瑕点的两个瑕积分?f(x)dx与?g(x)dx如果

aa f(x), g (x) 是非负函数，且lim?x?bbbf(x)?l,则 g(x)

ba（1） 当0?l???, 且?g(x)dx收敛时，则?f(x)dx也收敛．

ab（2） 当0?l???，且?g(x)dx发散时，则?f(x)dx也发散．

aabb对无限区间上的广义积分中，取???a1dx作比较标准，则得到下列pxCauchy判别法：设f(x)是[a,+?)的函数，在其任意闭区间上可积,那么:

??c定理9.8 若0?f(x)?p， p>1,那么积分?f(x)dx收敛，如

ax??cf(x)?p，p?1,则积分?f(x)dx发散．

ax其极限形式为

定理9.9 如limxpf(x)?l(0?l???, p>1), 则积分?f(x)dx收

ax?????

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敛．

如limxpf(x)?l,而0?l???, p?1, 则?ab??

发散.

例9.8 判断下列广义积分的收敛性。

(1)(2)

??f(x)dx

?1??11??ln(1?)?dx ??x1?x???1??xmdx(m>0, n>0) n 1?x11解：（1）因为0?ln(1?)?x1?x

1111?2??? x1?xx(1?x)x

由???1???11?1ln(1?)?dx收敛． 收敛推出dx?2?1?x1?x?x?n?m（2）因为limxx???xm?1,所以当n－m>1时，积分n1?x

m??xxm?11?xndx收敛. 当n－m?1时，积分?11?xndx发散．

b1dx作为比较标准，我们有下列柯西判别对于瑕积分，使用?ap(x?a)??法．

定理9.10 设x=a是f(x)在[a,b)上的唯一奇点，在其任意闭区间上可积,那么

bc（1） 如0?f(x)?则?f(x)dx收敛． p (c>0), p<1, a(x?a)bc（2） 如f(x)??则?af(x)dx发散． p (c>0), p1, (x?a)瑕积分的Cauchy判断法的极限形式为

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