函数与导数
1．求函数的定义域，关键是依据含自变量x的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根、被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏．
对抽象函数，只要对应关系相同，括号里整体的取值范围就完全相同． [问题1] 函数y＝logx?2的定义域是________． 10，? 答案 ??4?2．用换元法求解析式时，要注意新元的取值范围，即函数的定义域问题． [问题2] 已知f(cos x)＝sin2x，则f(x)＝________. 答案 1－x2(x∈[－1,1])
3．分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数．
x
??e，x<0，?1??＝________. [问题3] 已知函数f(x)＝?则f?f??e???ln x，x>0，?
12
1答案 e
4．判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．
lg?1－x2?
[问题4] f(x)＝是________函数(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)．
|x－2|－2答案 奇
?1－x2>0，?
解析 由?得定义域为(－1,0)∪(0,1)，
?|x－2|－2≠0?
lg?1－x2?lg?1－x2?
f(x)＝＝.
－?x－2?－2－x∴f(－x)＝－f(x)，f(x)为奇函数． 5．弄清函数奇偶性的性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反． (2)若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．
(3)若奇函数f(x)的定义域中含有0，则必有f(0)＝0.
故“f(0)＝0”是“f(x)为奇函数”的既不充分也不必要条件．
2
[问题5] 设f(x)＝lg?1－x＋a?是奇函数，且在x＝0处有意义，则该函数为( )
??
A．(－∞，＋∞)上的减函数 B．(－∞，＋∞)上的增函数 C．(－1,1)上的减函数 D．(－1,1)上的增函数 答案 D
解析 由题意可知f(0)＝0，即lg(2＋a)＝0， 解得a＝－1， 故f(x)＝lg
1＋x
，函数f(x)的定义域是(－1,1)， 1－x
1＋x
＝lg(1＋x)－lg(1－x)， 1－x
在此定义域内f(x)＝lg
函数y1＝lg(1＋x)是增函数，函数y2＝lg(1－x)是减函数，故f(x)＝y1－y2是增函数．选D. 6．求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“及”连接，或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替． 1
[问题6] 函数f(x)＝的减区间为________．
x答案 (－∞，0)，(0，＋∞) 7．求函数最值(值域)常用的方法：
(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数． (2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数． (3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数． (4)导数法：适合于可导函数． (5)换元法(特别注意新元的范围)． (6)分离常数法：适合于一次分式．
(7)有界函数法：适用于含有指数函数、对数函数或正、余弦函数的式子．无论用什么方法求最值，都要考查“等号”是否成立，特别是基本不等式法，并且要优先考虑定义域． 2x
[问题7] 函数y＝x(x≥0)的值域为________．
2＋11?
答案 ??2，1?
y解析 方法一 ∵x≥0，∴2x≥1，∴≥1，
1－y
1
解得≤y<1.
2
1?
∴其值域为y∈??2，1?. 方法二 y＝1－1?∴y∈??2，1?.
8．函数图象的几种常见变换
(1)平移变换：左右平移——“左加右减”(注意是针对x而言)；上下平移——“上加下减”． (2)翻折变换：f(x)→|f(x)|；f(x)→f(|x|)．
(3)对称变换：①证明函数图象的对称性，即证图象上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图象上；
②函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点成中心对称；
③函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于直线x＝0 (y轴)对称；函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于直线y＝0(x轴)对称．
[问题8] 函数y＝|log2|x－1||的递增区间是________． 答案 [0,1)，[2，＋∞)
??|log2?x－1?|?x>1?，解析 ∵y＝?
?|log2?1－x?|?x<1?，?
111
，∵x≥0，∴0 x 作图可知正确答案为[0,1)，[2，＋∞)． 9．有关函数周期的几种情况必须熟记：(1)f(x)＝f(x＋a)(a>0)，则f(x)的周期T＝a；(2)f(x＋a)＝ 1 (f(x)≠0)或f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)的周期T＝2a. f?x? 1 [问题9] 对于函数f(x)定义域内任意的x，都有f(x＋2)＝－，若当2 f?x?f(2 012.5)＝________. 2 答案 － 510．二次函数问题 (1)处理二次函数的问题勿忘数形结合．二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向，二看对称轴与所给区间的相对位置关系． (2)二次函数解析式的三种形式： ①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； ②顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)； ③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． (3)一元二次方程实根分布：先观察二次系数，Δ与0的关系，对称轴与区间关系及有穷区间 端点函数值符号，再根据上述特征画出草图． 尤其注意若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，要考虑到二次项系数可能为零的情形． [问题10] 若关于x的方程ax2－x＋1＝0至少有一个正根，则a的范围为________． 1－∞，? 答案 ?4??11．(1)对数运算性质 已知a>0且a≠1，b>0且b≠1，M>0，N>0. 则loga(MN)＝logaM＋logaN， M loga＝logaM－logaN， NlogaMn＝nlogaM， logbN 对数换底公式：logaN＝. logban1 推论：logamNn＝logaN；logab＝. mlogba(2)指数函数与对数函数的图象与性质 可从定义域、值域、单调性、函数值的变化情况考虑，特别注意底数的取值对有关性质的影响，另外，指数函数y＝ax的图象恒过定点(0,1)，对数函数y＝logax的图象恒过定点(1,0)． [问题11] 函数y＝loga|x|的增区间为_________________． 答案 当a>1时，(0，＋∞)；当0 形如y＝xα(α∈R)的函数为幂函数． (1)①若α＝1，则y＝x，图象是直线． ②当α＝0时，y＝x0＝1(x≠0)图象是除点(0,1)外的直线． ③当0<α<1时，图象过(0,0)与(1,1)两点，在第一象限内是上凸的． ④当α>1时，在第一象限内，图象是下凸的． (2)增减性：①当α>0时，在区间(0，＋∞)上，函数y＝xα是增函数，②当α<0时，在区间(0，＋∞)上，函数y＝xα是减函数． 1?x [问题12] 函数f(x)＝x－??2?的零点个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 答案 B 13．函数与方程 (1)对于函数y＝f(x)，使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．事实上，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根． 12
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