(2)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续曲线，且有f(a)f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间[a，b]内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，此时这个c就是方程f(x)＝0的根．反之不成立．
[问题13] 已知定义在R上的函数f(x)＝(x2－3x＋2)·g(x)＋3x－4，其中函数y＝g(x)的图象是一条连续曲线，则方程f(x)＝0在下面哪个范围内必有实数根( ) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 答案 B
解析 f(x)＝(x－2)(x－1)g(x)＋3x－4，
∴f(1)＝0＋3×1－4＝－1<0，f(2)＝2×3－4＝2>0. 又函数y＝g(x)的图象是一条连续曲线， ∴函数f(x)在区间(1,2)内有零点． 因此方程f(x)＝0在(1,2)内必有实数根． 14．求导数的方法
①基本导数公式：c′＝0 (c为常数)；(xm)′＝mxm1 (m∈Q)；(sin x)′＝cos x；(cos x)′＝－
－
11sin x；(ex)′＝ex；(ax)′＝axln a；(ln x)′＝；(logax)′＝(a>0且a≠1)．
xxln a②导数的四则运算：(u±v)′＝u′±v′； uu′v－uv′
(uv)′＝u′v＋uv′；?v?′＝(v≠0)．
v2??③复合函数的导数：yx′＝yu′·ux′. 如求f(ax＋b)的导数，令u＝ax＋b，则 (f(ax＋b))′＝f′(u)·a.
ex
[问题14] f(x)＝，则f′(x)＝________.
xex?x－1?答案 x215．利用导数判断函数的单调性：设函数y＝f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)>0，那么f(x)在该区间内为增函数；如果f′(x)<0，那么f(x)在该区间内为减函数；如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么f(x)在该区间内为常函数．
注意：如果已知f(x)为减函数求字母取值范围，那么不等式f′(x)≤0恒成立，但要验证f′(x)是否恒等于0.增函数亦如此．
[问题15] 函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在R上是增函数，则a的取值范围是________． 1
答案 a≥
3
解析 f(x)＝ax3－x2＋x－5的导数f′(x) ＝3ax2－2x＋1.
??a>0，1
由f′(x)≥0，得?解得a≥.
3?Δ＝4－12a≤0，?
1
a＝时，f′(x)＝(x－1)2≥0，且只有x＝1时，f′(x)＝0， 31
∴a＝符合题意．
3
16．导数为零的点并不一定是极值点，例如：函数f(x)＝x3，有f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．
11
[问题16] 函数f(x)＝x4－x3的极值点是________．
43答案 x＝1 17．定积分
b
运用微积分基本定理求定积分?af(x)dx值的关键是用求导公式逆向求出f(x)的原函数，应熟练
掌握以下几个公式：
＋
xn1bbn
?axdx＝|a，
n＋1
b?basin xdx＝－cos x|a， b?bacos xdx＝sin x|a，
1b?badx＝ln x|a(b>a>0)， x
x?baadx＝
axb
|. ln aa
2
[问题17] 计算定积分?1－1(x＋sin x)dx＝________.
2答案 3
x21－cos x??－解析 ?－1(x＋sin x)dx＝?＝. 1?3??3
1
2
3
易错点1 函数概念不清致误
x2
例1 已知函数f(x－3)＝lg2，求f(x)的定义域．
x－4
2
x2
错解 由2>0，得x>2或x<－2.
x－4∴函数f(x)的定义域为{x|x>2或x<－2}．
x2
找准失分点 错把lg2的定义域当成了f(x)的定义域．
x－4
x2
正解 由f(x－3)＝lg2，
x－4
2
设x2－3＝t，则x2＝t＋3， t＋3
因此f(t)＝lg.
t－1
x2
∵2>0，即x2>4，∴t＋3>4，即t>1. x－4∴f(x)的定义域为{x|x>1}．
易错点2 忽视函数的定义域致误
例2 判断函数f(x)＝(1＋x) 错解 因为f(x)＝(1＋x)
1－x
的奇偶性． 1＋x1－x
＝ 1＋x
1－x
?1＋x?2＝1－x2， 1＋x
所以f(－x)＝1－?－x?2＝1－x2＝f(x)， 所以f(x)＝(1＋x)
1－x
是偶函数． 1＋x
找准失分点 对函数奇偶性定义理解不够全面，事实上对定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，或f(－x)＝－f(x)． 正解 f(x)＝(1＋x)
1－x1－x
有意义时必须满足≥0?－1 1 易错点3 混淆“切点”致误 例3 求过曲线y＝x3－2x上的点(1，－1)的切线方程． 错解 ∵y′＝3x2－2， ∴k＝y′|x＝1＝3×12－2＝1， ∴切线方程为y＋1＝x－1，即x－y－2＝0. 找准失分点 错把(1，－1)当切点． 正解 设P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为 y′|x?x0＝3x20－2. 2 ∴切线方程为y－y0＝(3x0－2)(x－x0)， 2即y－(x30－2x0)＝(3x0－2)(x－x0)． 又知切线过点(1，－1)，把它代入上述方程，得 2－1－(x30－2x0)＝(3x0－2)(1－x0)， 整理，得(x0－1)2(2x0＋1)＝0， 1解得x0＝1，或x0＝－. 2 故所求切线方程为y－(1－2)＝(3－2)(x－1)， 131 或y－(－＋1)＝(－2)(x＋)， 842即x－y－2＝0，或5x＋4y－1＝0. 易错点4 极值的概念不清致误 例4 已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值为10，则a＋b＝________. 错解 －7或0 找准失分点 x＝1是f(x)的极值点?f′(1)＝0； 忽视了“f′(1)＝0 x＝1是f(x)的极值点”的情况． 正解 f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由x＝1时，函数取得极值10，得 ??f′?1?＝3＋2a＋b＝0， ① ? 2 ?f?1?＝1＋a＋b＋a＝10， ②? ???a＝4，?a＝－3，联立①②得?或? ??b＝－11，b＝3.?? 当a＝4，b＝－11时， f′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)(x－1) 在x＝1两侧的符号相反，符合题意． 当a＝－3，b＝3时， f′(x)＝3(x－1)2在x＝1两侧的符号相同， 所以a＝－3，b＝3不符合题意，舍去． 综上可知a＝4，b＝－11，∴a＋b＝－7. 答案 －7 易错点5 错误利用定积分求面积 例5 求曲线y＝sin x与x轴在区间[0,2π]上所围部分的面积S. π 错解 分两部分，在[0，π]上有?0sin xdx＝2，在[π，2π]上有?2ππsin xdx＝－2，因此所求面 积S为2＋(－2)＝0. 找准失分点 面积应为各部分的绝对值的代数和，也就是第二部分的积分不是阴影部分的面积，而是面积的相反数．所以，不应该将两部分直接相加． 2π正解 S＝?π0sin xdx＋|?πsin xdx|＝2＋2＝4. 答案 4 1．(2014·北京)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A．y＝x＋1 B．y＝(x－1)2
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