?1?2?4???例 矩阵A???2x?2?的特征值的三个特征值为5，y,-4,求x,y.??4?21???特征值和特征向量的性质
若λ是A的特征值, p是A的属于λ的特征向量，则:
(1)kλ是kA的特征值.(k是任意常数)
mm(2)λ是A的特征值.(m是正整数)
(3)设x的多项式为f(x)?a0?a1x?a2x?...?amx.则f(λ)为f(A)的特征值(4)若A可逆，则
12m?-1是A的特征值
例设3阶矩阵A的特征值为1,2,-1,
3计算行列式|A+2A-4E|．
定理4设?1,?2,特征值,p1,p2,则p1,p2,,?m是方阵A的m个互不相同的,pm依次是与之对应的特征向量,,pm线性无关.证设有常数x1,x2,,xm使?xmpm)????mxmpm??x1p1?x2p2??xmpm??则A(x1p1?x2p2?即?1x1p1??2x2p2?类推有?x1p1??x2p2?k1k2??xmpm??,m?1)km (k?1,2,写成矩阵形式,得?1?1?1?2?,xmpm)???1?m?????O.??m?1??m?(x1p1,x2p2,??m?11m?12当?i各不相同时,该矩阵可逆.于是有(x1p1,x2p2,所以向量组p1,p2,,xmpm)?O,,m.,pm线性无关.即xipi??,但pi??,故xi?0,i?1,2,
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