2020年高三数学二轮复习 专题四第二讲 数列的通项公式与数列求和教案 理

第二讲 数列的通项公式与数列求和

研热点（聚焦突破）

类型一 数列的通项问题

1．累加法求通项：形如an＋1－an＝f(n)．

2．累乘法求通项：形如

an＋1

＝f(n)． an3．构造法：形如：an＋1＝pan＋q.

??S1（n＝1），

4．已知Sn求an，即an＝?

?Sn－Sn－1（n≥2）.?

[例1] (2020年高考广东卷)设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，

n∈N*.

(1)求a1的值；

(2)求数列{an}的通项公式．

[解析] (1)当n＝1时，T1＝2S1－12.

因为T1＝S1＝a1，所以a1＝2a1－1，解得a1＝1.

(2)当n≥2时，Sn＝Tn－Tn－1＝2Sn－n2－[2Sn－1－(n－1)2]＝2Sn－2Sn－1－2n＋1， 所以Sn＝2Sn－1＋2n－1，① 所以Sn＋1＝2Sn＋2n＋1，② ②－①得an＋1＝2an＋2. 所以an＋1＋2＝2(an＋2)，即

an＋1＋2

＝2(n≥2)． an＋2

a2＋2

＝2，所以当n＝1时也满足上式．所以{an＋2}是以3为首项，2a1＋2

n－1

当n＝1时，a1＋2＝3，a2＋2＝6，则

为公比的等比数列，所以an＋2＝3·2，所以an＝3·2

n－1

－2.

跟踪训练

数列{an}中，a1＝1，对所有的n≥2，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，数列{an}的通项公式为________． 解析：由题意，当n≥2时， a1·a2·a3·…·an＝n2，①

故当n＝2时，有a1·a2＝22＝4， 又因为a1＝1，所以a2＝4. 故当n≥3时，

有a1·a2·a3·…·an－1＝(n－1)，② ①n由，得an＝2. ②（n－1）

而当n＝1时，a1＝1，不满足上式，n＝2时，满足上式． 1（n＝1），??所以数列{an}的通项公式为an＝? n2

2（n≥2）.??（n－1）1 （n＝1）??

答案：? n2

（n≥2）2

??（n－1）

类型二 数列求和 数列求和的方法技巧 (1)转化法

有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并； (2)错位相减法

这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列；

(3)裂项相消法

利用通项变形，将通项分裂成两项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和． [例2] (2020年高考浙江卷)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2＋n，n∈N*，数列{bn}满足an＝4log2bn＋3，n∈N*. (1)求an，bn；

(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn. [解析] (1) 由Sn＝2n2＋n，得

2

2

当n＝1时，a1＝S1＝3；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－1. 所以an＝4n－1，n∈N*.

由4n－1＝an＝4log2bn＋3，得bn＝2n－1，n∈N*. (2)由(1)知anbn＝(4n－1)·2n－1，n∈N*， 所以Tn＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n－1)·2n－1， 2Tn＝3×2＋7×22＋…＋(4n－5)·2n－1＋(4n－1)·2n， 所以2Tn－Tn＝(4n－1)2n－[3＋4(2＋22＋…＋2n－1)] ＝(4n－5)2n＋5.

故Tn＝(4n－5)2n＋5，n∈N*.

跟踪训练

(2020年高考课标全国卷)数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项和为( A．3 690 B．3 660 C．1 845 D．1 830

) 解析：利用数列的递推式的意义结合等差数列求和公式求解．

∵an＋1＋(－1)nan＝2n－1，∴a2＝1＋a1，a3＝2－a1，a4＝7－a1，a5＝a1，a6＝9＋a1，a7＝2－a1，

a8＝15－a1，a9＝a1，a10＝17＋a1，a11＝2－a1，a12＝23－a1，…，a57＝a1，a58＝113＋a1，a59＝2

－a1，a60＝119－a1，

∴a1＋a2＋…＋a60＝(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋a7＋a8)＋…＋(a57＋a58＋a59＋a60)＝10＋26＋42＋…＋15×（10＋234）234＝＝1 830.

2

答案：D

类型三 数列的综合应用

1．数列的综合应用多涉及函数、不等式、解析几何等知识．

2．数列的单调性的判断方法： (1)作差：an＋1－an与0的关系； (2)作商：

an＋1

与1的关系． ann＋1

[例3] (2020年高考广东卷)设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝an＋1－2＋5，a3成等差数列．

(1)求a1的值；

(2)求数列{an}的通项公式；

1113

(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋<.

a1a2an2[解析] (1)∵a1，a2＋5，a3成等差数列， ∴2(a2＋5)＝a1＋a3. 又2Sn＝an＋1－2

2

＋1，n∈N，且a1，a2

*

n＋1

＋1，

3

∴2S1＝a2－2＋1，2S2＝a3－2＋1， ∴2a1＝a2－3，2(a1＋a2)＝a3－7.

2（a2＋5）＝a1＋a3，?a1＝1，???

由?2a1＝a2－3，得?a2＝5，∴a1＝1. ???2（a1＋a2）＝a3－7?a3＝19.(2)∵2Sn＝an＋1－2

n＋1

＋1，①

n∴当n≥2时，2Sn－1＝an－2＋1.② ①－②得2an＝an＋1－an－2∴an＋1＝3an＋2. 两边同除以2

n＋1nn＋1

＋2，

nan＋13an1

得n＋1＝·n＋， 2222