第三讲 二次函数的性质及其应用
? 相关概念及定义
b，c是常数，a?0）的函数，? 二次函数的概念：一般地，形如y?ax2?bx?c（a，c叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a?0，而b，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． ? 二次函数y?ax2?bx?c的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2． b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． ⑵ a，? 二次函数各种形式之间的变换
22? 二次函数y?ax?bx?c用配方法可化成：y?a?x?h??k的形式，其中
b4ac?b2h??，k?.
2a4a? 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①y?ax；②y?ax?k；
2③y?a?x?h?；④y?a?x?h??k；⑤y?ax?bx?c.
2222? 二次函数解析式的表示方法
? 一般式：y?ax2?bx?c（a，b，c为常数，a?0）； ? 顶点式：y?a(x?h)2?k（a，h，k为常数，a?0）；
? 两根式：y?a(x?x1)(x?x2)（a?0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）. ? 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数
都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b2?4ac?0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
2y?a(x?h)?k的图像和性质 ? 二次函数a＞0 a＜0 y 图 象 开 口 对 称 轴 顶点坐标 最 值 增在对称轴左侧 减性 在对称轴右侧 O x 当x＝ 时，y有最 当x＝ 时，y有最 值 值 y随x的增大而 y随x的增大而 y 随x的增大而 y随x的增大而 2y?ax?bx?c的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ? 抛物线
? a的符号决定抛物线的开口方向：当a?0时，开口向上；当a?0时，开口向下；
1
a相等，抛物线的开口大小、形状相同.
? 对称轴：平行于y轴（或重合）的直线记作x??b.特别地，y轴记作直线x?0. 2ab4ac?b2（?，）? 顶点坐标：
2a4a? 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物
线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.
│a│越大，开口越小，图像两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，?图像两边越靠近x轴
b?0，即抛物线的对称轴就是y轴 2a 当c?0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； 当c?0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0； 当c?0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．
当b?0时，?? 用待定系数法求二次函数的解析式
2? 一般式：y?ax?bx?c.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.
? 顶点式：y?a?x?h??k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
2y?a?x?x1??x?x2?.
? 直线与抛物线的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点???0?抛物线与x轴相交；
②有一个交点（顶点在x轴上）???0?抛物线与x轴相切； ③没有交点???0?抛物线与x轴相离.
? 平行于x轴的直线与抛物线的交点
可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵
坐标为k，则横坐标是ax?bx?c?k的两个实数根.
? 抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y?ax?bx?c与x轴两交点为
2? 交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：
2A?x1，0?，B?x2，0?，由于x1、x2是方程ax2?bx?c?0的两个根，故
bc? x1?x2??,x1?x2?aaAB?x1?x2?
?x1?x2?2??x1?x2?24cb2?4ac??b??4x1x2???????aaa?a?2? 二次函数图象的平移
? 平移步骤：
k?； ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y?a?x?h??k，确定其顶点坐标?h，k?处，具体平移方法如下： ⑵ 保持抛物线y?ax2的形状不变，将其顶点平移到?h，2 2
y=ax2向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位y=ax2+k向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2?
向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+k平移规律
在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
经验
? 根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。
? 三点式。
1，已知抛物线y=ax+bx+c 经过A（3，0），B（23，0），C（0，-3）三点，求抛物线的解析式。
２
2，已知抛物线y=a(x-1)+4 ， 经过点A（2，3），求抛物线的解析式。 ? 顶点式。
22
1，已知抛物线y=x-2ax+a+b 顶点为A（2，1），求抛物线的解析式。
2
2，已知抛物线 y=4(x+a)-2a 的顶点为（3，1），求抛物线的解析式。 ? 交点式。
1，已知抛物线与 x 轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。
2
2，已知抛物线线与 x 轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线y=? 定点式。
1，在直角坐标系中，不论a 取何值，抛物线y??1a(x-2a)(x-b)的解析式。 2125?ax?x?2a?2经过x 轴上一22定点Q，直线y?(a?2)x?2经过点Q,求抛物线的解析式。
2
2，抛物线y= x +(2m-1)x-2m与x轴的一定交点经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式。
2
3，抛物线y=ax+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A，求抛物线的解析式。 ? 平移式。
2
1， 把抛物线y= -2x 向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线
2
y=a( x-h) +k,求此抛物线解析式。 2， 抛物线y??x?x?3向上平移,使抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式. ? 距离式。
2
1，抛物线y=ax+4ax+1(a﹥0)与x轴的两个交点间的距离为2，求抛物线的解析式。
2
2，已知抛物线y=m x+3mx-4m(m﹥0)与 x轴交于A、B两点，与 轴交于C点，且AB=BC,求
3
2此抛物线的解析式。 ? 对称轴式。
22
1、抛物线y=x-2x+(m-4m+4)与x轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到y轴距离的2倍，求抛物线的解析式。
2
2、 已知抛物线y=-x+ax+4, 交x轴于A,B（点A在点B左边）两点，交 y轴于点C,且
OB-OA=
3OC，求此抛物线的解析式。 4? 对称式。
1， 平行四边形ABCD对角线AC在x轴上，且A（-10，0），AC=16，D（2，6）。AD交y 轴于
E，将三角形ABC沿x 轴折叠，点B到B1的位置，求经过A,B,E三点的抛物线的解析式。
2
2， 求与抛物线y=x+4x+3关于y轴（或x轴）对称的抛物线的解析式。 ? 切点式。
22
1，已知直线y=ax-a(a≠0) 与抛物线y=mx 有唯一公共点，求抛物线的解析式。
2
2， 直线y=x+a 与抛物线y=ax +k 的唯一公共点A（2，1）,求抛物线的解析式。 ? 判别式式。
2
1、已知关于X的一元二次方程（m+1）x+2(m+1)x+2=0有两个相等的实数根，求抛物线
2
y=-x+(m+1)x+3解析式。
2
2、 已知抛物线y=(a+2)x-(a+1)x+2a的顶点在x轴上,求抛物线的解析式。
2
3、已知抛物线y=(m+1)x+(m+2)x+1与x轴有唯一公共点，求抛物线的解析式。
? 二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式
或顶点式表达
? 关于x轴对称
x?bx?关于cx轴对称后，得到的解析式是y??ax2?bx?c； y?a2y?a?x?h??k关于x轴对称后，得到的解析式是y??a?x?h??k；
22? 关于y轴对称
x?bx?关于cy轴对称后，得到的解析式是y?ax2?bx?c； y?a2y?a?x?h??k关于y轴对称后，得到的解析式是y?a?x?h??k；
22? 关于原点对称 x?bx?关于原点对称后，得到的解析式是cy??ax2?bx?c； y?a2ky??a?x?h??k； y?a?x??h?关于原点对称后，得到的解析式是
22? 关于顶点对称
b2?关于顶点对称后，得到的解析式是c y?ax?bx； y??ax?bx?c?2a22y?a?x?h??k关于顶点对称后，得到的解析式是y??a?x?h??k．
22n?对称 ? 关于点?m，y?a?x?h??k关于点?m，n?对称后，得到的解析式是y??a?x?h?2m??2n?k
22总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方
向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
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