第3讲 分类讨论思想
1．分类讨论思想是一种重要的数学思想方法．其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度． 2．分类讨论的常见类型
(1)由数学概念引起的分类讨论．有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．
(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论．有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等．
(3)由数学运算要求引起的分类讨论．如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．
(4)由图形的不确定性引起的分类讨论．有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等．
(5)由参数的变化引起的分类讨论．某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法． (6)由实际意义引起的讨论．此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用．
3．分类讨论的原则 (1)不重不漏．
(2)标准要统一，层次要分明．
(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论．
4．解分类问题的步骤
(1)确定分类讨论的对象，即对哪个变量或参数进行分类讨论． (2)对所讨论的对象进行合理的分类．
(3)逐类讨论，即对各类问题详细讨论，逐步解决． (4)归纳总结，将各类情况总结归纳.
热点一 由数学概念、性质、运算引起的分类讨论1
例
浙江)设函数f(x)＝
(1)(2014·??x＋x，x<0，?2
?－x，x≥0，?
2
若f(f(a))≤2，则实数a的取值范围是________．
39
(2)在等比数列{an}中，已知a3＝，S3＝，则a1＝________.
223
答案 (1)a≤2 (2)或6
2
解析 (1)f(x)的图象如图，由图象知，满足f(f(a))≤2时，得f(a)≥－2，而满足f(a)≥－2时，得a≤2.
3
(2)当q＝1时，a1＝a2＝a3＝，
2
S3＝3a1＝，显然成立；
3
aq＝a＝，??2
当q≠1时，由题意，得?a1－q9
＝S＝.??1－q2
21
33
1
3
9
2
3
aq＝， ①??2所以?9
a1＋q＋q＝， ②??2
21
2
1
2
1＋q＋q2
由①②，得＝3，即2q－q－1＝0， 2
q1
所以q＝－或q＝1(舍去)．
2
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