第四章 图形的相似
1 成比例线段
2 平行线分线段成比例 3 相似多边形
4 探索三角形相似的条件
*5 相似三角形判定定理的证明 6 利用相似三角形测高 7 相似三角形的性质 8 图形的位似 一. 成比例线段
※1. 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB, CD的长度分别是m、n,那么就说这两条线
段的比AB:CD=m:n ,或写成
Am?. Bnac?,那么这四条线段bd※2. 四条线段a、b、c、d中,如果a与b的比等于c与d的比,即
a、b、c、d叫做成比例线段,简称比例线段. ※3. 注意点:
①a:b=k,说明a是b的k倍;
②由于线段 a、b的长度都是正数,所以k是正数;
③比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致; ④除了a=b之外,a:b≠b:a, ⑤比例的基本性质:若
ab与互为倒数; baacac_ ?, 则ad=bc; 若ad=bc, 则? A
bdbd_ C_ B
※1. 如图1,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果
图1 _ ACBC,那么称线段AB被点C?ABAC黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比.
AC:AB?5?1?0.618:1 2※2.黄金分割点是最优美、最令人赏心悦目的点. 二．平行线分线段成比例
※1. 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图2, l1 // l2 // l3,则
ABBC?. DEEFC _ A _ B _ D _ E _ F _ _l _1_l _2_l _3
三. 相似多边形
¤1. 一般地,形状相同的图形称为相似图形.
※2. 对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.
※相似多边形的周长等于相似比;面积比等于相似比的平方.
四. 探索三角形相似的条件
图2 _
※1.在相似多边形中,最为简简单的就是相似三角形.
※2.对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做相似比.
※3. 全等三角形是相似三角的特例,这时相似比等于1. 注意:证两个相似三角形,与证两
个全等三角形一样,应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.
※4. 相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比. ※5. 相似三角形周长的比等于相似比.
※6. 相似三角形面积的比等于相似比的平方. ※1. 相似三角形的判定方法:
一般三角形 直角三角形 基本定理:平行于三角形的一边且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线,所
截得的三角形与原三角形相似. ①两角对应相等; ②两边对应成比例,且夹角相等; ③三边对应成比例. ①一个锐角对应相等; ②两条边对应成比例: a. 两直角边对应成比例; b. 斜边和一直角边对应成比例. ※3. 平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.
八. 图形的位似
※1. 如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫做位似图形; 这个点叫做位似中心; 这时的相似比又称为位似比. ※2. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比. ◎3. 位似变换:
①变换后的图形,不仅与原图相似,而且对应顶点的连线相交于一点,并且对应点到这一交点的距离成比例.像这种特殊的相似变换叫做位似变换.这个交点叫做位似中心.
②一个图形经过位似变换后得到另一个图形,这两个图形就叫做位似形. ③利用位似的方法,可以把一个图形放大或缩小.
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