江苏省常熟中学2017-2018学年高二下学期期中考试
理数试题
第Ⅰ卷（共60分）
. 一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卷相应的位置上．．．．．．．．．
1. 已知【答案】7 【解析】分析：根据详解：因为所以
,可得
，
，故答案为.
的应用，意在考查对基本公式掌握的熟练程度.
，
1，2，3，4，则
__________ .
,可得
，从而可得结果.
，则
__________.
点睛：本题主要考查2. 随机变量的分布列为【答案】
【解析】分析：根据所给的离散型随机变量的分布列,可以写出变量等于和时的概率,结合互斥事件的概率公式可得结果. 详解：
，
，故答案为.
，
点睛：本题主要考查分布列的性质以及互斥事件的概率公式，属于简单题. 3. 为虚数单位，复数【答案】四
【解析】分析：先利用复数的运算法则化简详解：因为所以数复数
的共轭复数
，对应坐标为
，
，
，由共轭复数的定义求出共轭复数，利用复数的几何意义即可得结果.
的共轭复数对应的点位于第__________象限 . ．．
的共轭复数对应的点位于第四象限，故答案为四.
点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 4. 已知函数【答案】
【解析】分析：求出导函数，可得切线斜率，利用切线斜率等于列方程求解即可. 详解：因为函数所以可得函数由函数可得
在点，解得
，
处切线与直线，故答案为.
平行，
， ，若函数
在点
处切线与直线
平行，则
__________ .
(1) 已点睛：本题主要考查利用导数求切线斜率，属于简单题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在：知切点5. 若
【答案】2或3 【解析】分析：由
可得
或或
，
,从而可得结果.
求斜率,即求该点处的导数，则
__________ .
；(2) 己知斜率求切点
解方程
即可.
详解：由组合数公式的性质可得解得
或
，故答案为或.
点睛：本题主要考查组合数公式的应用，意在考查分类讨论的数学思想以及灵活运用基本公式的能力. 6.
的展开式中的常数项为__________ .
【答案】15
【解析】试题分析：展开式的通项公式为考点：二项式定理
7. 甲、乙同时炮击一架敌机，已知甲击中敌机的概率为0.3，乙击中敌机的概率为0.5，敌机被击中的概率为__________ . 【答案】0.65
【解析】分析：根据互相独立事件的概率乘法公式，求得甲乙都没有击中敌机的概率，然后利用对立事件的概率公式求解即可.
详解：根据独立事件与独立事件的概率公式可得，
，令
，常数项为
甲乙都没有击中敌机的概率为由对立事件的概率公式可得， 敌机被击中的概率为
，故答案为
.
，
8. 四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法有__________种（用数字作答） . 【答案】144
【解析】试题分析：由题意得：考点：排列组合 9. 用数学归纳法证明“左边应增加的项为__________ . 【答案】
时，左端为
时，命题成立，左端为
，
时，左端为； ，
”需增添的项是 ，故答案为
.
，相减即可得结果.
”时，由
时等式成立推证
时，
【解析】分析：详解： 因为假设当
时，左端为
两式相减可得，从“
点睛：项数的变化规律，是利用数学归纳法解答问题的基础，也是易错点，要使问题顺利得到解决，关键是注意两点：一是首尾两项的变化规律；二是相邻两项之间的变化规律. 10. 若【答案】-1
【解析】分析：在所给的等式中，令的值. 详解：在
中， ，可得
；令
可得，
，从而求得
，则
__________ .
令在
可得，，即， 中，令
可得，
，即，
而，故答案为.
点睛：本题主要考查二项展开式定理的应用及灵活变形求值，特别是解决二项式的系数和的问题时，常采取赋值法，属于中档题.
11. 在平面内，以正三角形的三边中点为顶点的三角形与原三角形的面积之比为1:4.类比该命题，在空间中，以正四面体的四个面的中心为顶点的四面体与原四面体的体积之比为__________ . 【答案】1:27
【解析】由题意，以正三角形的三边的中点为顶点的三角形与原正三角形的边长比为即为
，其面积比为边长比的平方，
，以此类比，又正三角形中心点是对应高的三等分点，则易知，以正四面体的四个面的中心为顶点的四面体与
，因此其体积比为
.
原正四面体的边长比为12. 观察下列等式：
；
；
；
…… 则当
且
时，
__________（最后结果用，表示） . 【答案】
＋＋
）＋（＋），有
）＋（＋）＋（＋），
=【解析】试题分析：观察可知：＋＋＋=（＋）＋（＋）（项，＋＋＋＋＋＝（＋）＋（＋）＋（＋）＝（有
＋+
项，因此 ＋
＋
＋＋
＋
共有
项，利用倒序求和：
＋＋＋＋＋
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