(2)∵ ?ab?0 即Ua?Ub?0 ∴b点电势高．
题10-11图
10-11 如题10-11图所示，长度为2b的金属杆位于两无限长直导线所在平面的正中间，并
?以速度v平行于两直导线运动．两直导线通以大小相等、方向相反的电流I，两导线相距2a．试求：金属杆两端的电势差及其方向． 解：在金属杆上取dr距左边直导线为r，则
a?b?Iv1??0Iva?b1???)dr?ln ?AB??(v?B)?dl???0(?
Aa?b2?r2a?r?a?b∵ ?AB?0
∴实际上感应电动势方向从B?A，即从图中从右向左，
?Iva?b∴ UAB?0ln
?a?bB题10-12图
?10-12 磁感应强度为B的均匀磁场充满一半径为R的圆柱形空间，一金属杆放在题10-12图中
dB位置，杆长为2R，其中一半位于磁场内、另一半在磁场外．当＞0时，求：杆两端的感应
dt电动势的大小和方向．
解： ∵ ?ac??ab??bc
d?1d323RdB ??[?RB]?dtdt44dtd?2dπR2πR2dB?ab????[?B]?
dtdt1212dt3R2πR2dB∴ ?ac?[ ?]412dtdB?0 ∵ dt∴ ?ac?0即?从a?c
dB10-13 半径为R的直螺线管中，有＞0的磁场，一任意闭合导线abca，一部分在螺线管
dt内绷直成ab弦，a,b两点与螺线管绝缘，如题10-13图所示．设ab =R，试求：闭合
?ab??导线中的感应电动势．
解：如图，闭合导线abca内磁通量
??πR23R2?m?B?S?B(?)
64πR232dB∴ ?i??( ?R)64dt
∵
dB?0 dt∴?i?0，即感应电动势沿acba，逆时针方向．
题10-13图题10-14图
10-14 如题10-14图所示，在垂直于直螺线管管轴的平面上放置导体ab于直径位置，另一导体cd在一弦上，导体均与螺线管绝缘．当螺线管接通电源的一瞬间管内磁场如题10-14图示方向．试求：
（1）ab两端的电势差；
（2）cd两点电势高低的情况．
????dB??dS知，此时E旋以O为中心沿逆时针方向． 解： 由?E旋?dl???ldt?
(1)∵ab是直径，在ab上处处E旋与ab垂直
?∴ ?旋?dl?0
l∴?ab?0,有Ua?Ub
(2)同理， ?dc??cd??E?dl?0
旋∴ Ud?Uc?0即Uc?Ud
题10-15图
10-15 一无限长的直导线和一正方形的线圈如题10-15图所示放置(导线与线圈接触处绝缘)．求：线圈与导线间的互感系数．
解： 设长直电流为I，其磁场通过正方形线圈的互感磁通为
?12??2a3a3?0Ia2πrdr??0Ia2πln2
∴ M?ln2
I2π10-16 一矩形线圈长为a=20cm，宽为b=10cm，由100匝表面绝缘的导线绕成，放在一无限
长导线的旁边且与线圈共面．求：题10-16图中(a)和(b)两种情况下，线圈与长直导线间的互感．
解：(a)见题10-16图(a)，设长直电流为I，它产生的磁场通过矩形线圈的磁通为
?12??0a2π?b?aN?12?N0ln2?2.8?10?6 H ∴ M?I2π(b)∵长直电流磁场通过矩形线圈的磁通?12?0，见题10-16图(b) ∴ M?0
(S)?12??B?dS????0Ia2bdr?0Ia?ln2 r2π
题10-16图题10-17图
10-17 两根平行长直导线，横截面的半径都是a，中心相距为d，两导线属于同一回路．设两
导线内部的磁通可忽略不计，证明：这样一对导线长度为l的一段自感为
L?d?a?0ld?aIn
a??0Il2π．
解： 如图10-17图所示，取dS?ldr 则 ??2rπ2π(d?r)?Ild?a?0ln πaa?(?0I??0I)ldr??d?aa?Ild?a11d(?)dr?0(ln?ln) rr?d2πad?a∴ L??I??0lπlnd?a a10-18 两线圈顺串联后总自感为1.0H，在它们的形状和位置都不变的情况下，反串联后总自感为0.4H．试求：它们之间的互感． 解： ∵顺串时 L?L1?L2?2M
反串联时L??L1?L2?2M
∴ L?L??4M
M?L?L??0.15H 410-19图
10-19 一矩形截面的螺绕环如题10-19图所示，共有N匝．试求： (1)此螺线环的自感系数；
(2)若导线内通有电流I，环内磁能为多少? 解：如题10-19图示 (1)通过横截面的磁通为 ??磁链 ??N???b?0NI2rπahdr??0NIh2πbln a?0N2Ih2πbln a∴ L??I2π12(2)∵ Wm?LI
2
??0N2hbln a∴ Wm??0N2I2h4πbln a10-20 一无限长圆柱形直导线，其截面各处的电流密度相等，总电流为I．求：导线内部单位长度上所储存的磁能． 解：在r?R时 B??0Ir2πR2
?0I2r2B2∴ wm? ?242?08πR取 dV?2πrdr(∵导线长l?1)
23RR?Irdr?0I20?则 W??wm2?rdr??
004πR416π
习题十一
11-1 圆柱形电容器内、外导体截面半径分别为R1和R2(R1＜R2)，中间充满介电常数为?dU?k时(k为常数)，求介质内距圆柱轴线为的电介质.当两极板间的电压随时间的变化dtr处的位移电流密度．
2??l解：圆柱形电容器电容 C?
R2lnR12??lUq?CU?
R2lnR1q2??lU?U D???S2?rlnR2rlnR2R1R1?D?k?∴ j?
R2?trlnR1dU11-2 试证：平行板电容器的位移电流可写成Id?C．式中C为电容器的电容，U是
dt电容器两极板的电势差．如果不是平板电容器，以上关系还适用吗? 解：∵ q?CU
CU S∴ ?D?DS?CU d?DdUID??CdtdtD??0?
不是平板电容器时 D??0仍成立 ∴ ID?C
dU还适用． dt
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