河北省唐山市2017届高三第二次模拟考试（文数）

数学（文科）参考答案

一、选择题

1-5:CCBBD 6-10:CADBA 11、12：DA

二、填空题

13.(?1,1] 14.1 15.

153 16.

22三、解答题

17.解：（Ⅰ）设数列?an?的公差为d，?bn?的公比为q（q?0），则??(1?2d)q?14,

(1?2d)?q?5,?3??d?3,?d??,解得?或?， 2（舍）

?q?2,?q??7,?所以an?3n?2，bn?2n?1． （Ⅱ）

n(1?3n?2)1?2n3n2?n???2n?1． Sn?(a1?a2?…?an)?(b1?b2?…?bn)?21?2218.解：（Ⅰ）设抽取的100名学生中大一学生有x人，则所以抽取的100名学生中大一学生有30人． （Ⅱ）频率分布直方图如图所示．

x100?，解得x?30， 24008000

（Ⅲ）t?1?0.050?2?3?0.200?2?5?0.125?2?7?0.100?2?9?0.025?2?4.4， 所以该校大学生每周使用共享单车的平均时间大约为4.4小时． 19.解：（Ⅰ）当BM?3时，有EM//平面PCD．

5

取PD中点F，连接EF，CF， ∵E，F分别为PA，PD的中点， ∴EF//AD，且EF?1AD?1. 2又∵梯形ABCD中，CM//AD，且CM?1， ∴EF//CM，且EF?CM， ∴四边形EMCF为平行四边形， ∴EM//FC，

又∵EM?平面PCD，FC?平面PCD，∴EM//平面PCD， 即当BM?3时，EM//平面PCD. （Ⅱ）∵E为PA的中点，

∴点P到平面DEM的距离等于点A到平面DEM的距离，设点P到平面DEM的距离为

d，

由已知可得，AM?MD?ED?5，EM?6，

∴S?AMD?2，S?DEM?21， 2131S?AMD?EA， 3由VA?DEM?VE?AMD，得S?DEM?d?∴d?S?AMD?EA421， ?S?DEM21421. 21所以点P到平面DEM的距离为

20.解：（Ⅰ）设C(x,y)（y?0），因为B在x轴上且BC中点在y轴上，所以B(?x,0)，

222由|AB|?|AC|，得(x?1)?(x?1)?y，

6

化简得y2?4x，所以C点的轨迹?的方程为y2?4x（y?0）． （Ⅱ）直线l的斜率显然存在且不为0，

设直线l的方程为y?kx?2，M(x1,y1)，N(x2,y2)，

?y2?4x,由?得ky2?4y?8?0， ?y?kx?2,所以y1?y2?48，y1y2??， kkkMQ?y1?2y1?244?2?，同理kNQ?， x1?1y1y1?2y2?2?14kMQ?kNQ?4416???4， y1?2y2?2y1y2?2(y1?y2)?4所以Q(1,2)与M，N两点连线的斜率之积为定值4． 21.解：（Ⅰ）f'(x)?1a?， xx2设f(x)的图象与x轴相切于点(x0,0)，

a?lnx??1?0,0?f(x)?0,x??00则?即?解得a?x0?1,

f'(x)?0,1a0????0,2?xx0?0所以f(x)?lnx?1?1, x(x?1)2f(x)?等价于lnx?x?1．

x设h(x)?lnx?x?1，则h'(x)?1?1， x当0?x?1时，h'(x)?0，h(x)单调递增； 当x?1时，h'(x)?0，h(x)单调递减， 所以h(x)?h(1)?0， 即lnx?x?1，（*）

7

(x?1)2所以f(x)?．

xx2?1b?1(?lnb)x2?b?1?x?（Ⅱ）设g(x)?(b?1)logbx?，g'(x)?，

2xlnbxlnb由g'(x)?0，得x0?b?1． lnbx?1?1； lnx111x?1x?1?x． 以代换x可得ln??1，有lnx?，即

xxxlnxx由（*）式可得，当x?1时，lnx?x?1，即所以当b?1时，有1?x0?b．

当1?x?x0时，g'(x)?0，g(x)单调递增； 当x0?x?b时，g'(x)?0，g(x)单调递减， 又因为g(1)?g(b)?0，所以g(x)?0，

x2?1即(b?1)logbx?．

222.解：（Ⅰ）曲线C1的普通方程为3x?y?3?0，

x2?y2?1． 曲线C2的直角坐标方程为3（Ⅱ）将直线C1的参数方程代入C2的直角坐标方程整理得：5t?2t?4?0，

22t1?t2??，

5由t的几何意义可知：||MA|?|MB||?|t1?t2|?2. 5?2x,x?1,?23.解：（Ⅰ）f(x)?|x?1|?|x?1|??2,?1?x?1,

??2x,x??1.?由f(x)的单调性及f(x)?4得，x?2或x??2． 所以不等式f(x)?4的解集为P?x|x?2或x??2. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知|m|?2，|n|?2，所以m?4，n?4，

8

22??

(mn?4)2?4(m?n)2?(m2?4)(n2?4)?0，

所以(mn?4)2?4(m?n)2， 从而有|mn?4|?2|m?n|．

9