题型专题(十二) 数 列
[师说考点]
1．等差数列的通项公式及前n项和公式 an＝a1＋(n－1)d；
n（a1＋an）n（n－1）Sn＝＝na1＋d.
222．等比数列的通项公式及前n项和公式 an＝a1qn1(q≠0)；
－
等差数列与等比数列 a1（1－qn）a1－anq
Sn＝＝(q≠1)．
1－q1－q
[典例] (1)(2016·北京高考)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝6，a3＋a5
＝0，则S6＝________.
[解析] ∵a3＋a5＝2a4，∴a4＝0. ∵a1＝6，a4＝a1＋3d，∴d＝－2. 6×（6－1）
∴S6＝6a1＋d＝6.
2[答案] 6
1
(2)(2016·全国乙卷)已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝，anbn
3
＋1
＋bn＋1＝nbn.
①求{an}的通项公式； ②求{bn}的前n项和．
1
[解] ①由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝，得a1＝2.
3
所以数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为an＝3n－1. bn②由①知anbn＋1＋bn＋1＝nbn，得bn＋1＝，
31
因此{bn}是首项为1，公比为的等比数列．
3记{bn}的前n项和为Sn，
1?1－??3?n
31
＝－. 122×3n－11－3
则Sn＝
[类题通法]
1．等差(比)数列的基本运算
在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a1和d(或q)的方程组求解，但要注意消元法及整体代换，以减少计算量．
2．判断和证明数列是等差(比)数列的2种方法
an＋1?
(1)定义法：对于n≥1的任意自然数，验证an＋1－an?或
?an?为与正整数n无关的一常数．(2)中项公式法：
①若2an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2)，则{an}为等差数列；
*
②若a2n＝an－1·an＋1(n∈N，n≥2)，则{an}为等比数列．
[演练冲关]
1．若等比数列{an}的各项均为正数，a1＋2a2＝3，a23＝4a2a6，则a4＝( ) 32439A. B. C. D. 851616
??a1＋2a1q＝3，解析：选C 由题意，得?解得225
?（a1q）＝4a1q·a1q，?
?
?1?q＝2.3a1＝，
2
3?1?33
所以a4＝a1q＝×?2?＝. 216
3
2．(2016·郑州质检)设数列{an}满足：a1＝1，a2＝3，且2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1，则a20的值是( )
21222324
A. B. C. D. 5555
解析：选D ∵2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1，∴数列{nan}是以a1＝1为首项，2a2－a1
24
＝5为公差的等差数列，∴20a20＝1＋5×19＝96，∴a20＝.
5
3．(2016·广西质检)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝9，a1，a3，a7成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若an≠a1(当n≥2时)，数列{bn}满足bn＝2an，求数列{bn}的前n项和Tn.
2解：(1)a23＝a1a7，即(a1＋2d)＝a1(a1＋6d)，
1
化简得d＝a1或d＝0.
2
3×2119
当d＝a1时，S3＝3a1＋×a1＝a1＝9，得a1＝2，d＝1，
2222∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)＝n＋1，即an＝n＋1；
当d＝0时，由S3＝9，得a1＝3，即有an＝3. (2)由题意可知bn＝2an＝2n1，
＋
bn＋1∴b1＝4，＝2.
bn
∴{bn}是以4为首项，2为公比的等比数列， 4（1－2n）n＋2
∴Tn＝＝2－4.
1－2
[师说考点]
等差数列 等比数列 等差数列、等比数列的性质 若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q， 若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q， 则am＋an＝ap＋aq 性质 an＝am＋(n－m)d Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，… 仍成等差数列 则am·an＝ap·aq an＝amqn-m Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，… 仍成等比数列(Sn≠0) [典例] (1)(2016·全国乙卷)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝( )
A．100 B．99 C．98 D．97
[解析] 选C 法一：∵{an}是等差数列，设其公差为d， 9
∴S9＝(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3.
2
?a1＋4d＝3，??a1＝－1，?
又∵a10＝8，∴?∴?
??a＋9d＝8，d＝1.?1?
∴a100＝a1＋99d＝－1＋99×1＝98.故选C. 法二：∵{an}是等差数列， 9
∴S9＝(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3.
2
在等差数列{an}中，a5，a10，a15，…，a100成等差数列，且公差d′＝a10－a5＝8－3＝5. 故a100＝a5＋(20－1)×5＝98.故选C.
(2)(2016·昆明七校联考)在数列{an}中，a1＝5，(an＋1－2)(an－2)＝3(n∈N*)，则该数列的前2 016项的和是________．
[解析] 依题意得(an＋1－2)(an－2)＝3，(an＋2－2)·(an＋1－2)＝3，因此an＋2－2＝an－2，即an＋2＝an，所以数列{an}是以2为周期的数列．又a1＝5，因此(a2－2)(a1－2)＝3(a2－2)＝
3，故a2＝3，a1＋a2＝8.注意到2 016＝2×1 008，因此该数列的前2 016项的和等于1 008(a1＋a2)＝8 064.
[答案] 8 064
[类题通法]
等差(比)数列性质应用策略
(1)解决此类问题的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解；
(2)数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如周期性、单调性(如本例(2)及[演练冲关]2)．
[演练冲关]
1．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S11＝22，则a3＋a7＋a8＝( ) A．18 B．12 C．9 D．6 解析：选D 由题意得S11＝＝3×2＝6，故选D.
2．(2016·沈阳模拟)设等差数列{an}满足a2＝7，a4＝3，Sn是数列{an}的前n项和，则使得Sn>0成立的最大的自然数n是( )
A．9 B．10 C．11 D．12
3－7
解析：选A 由题可得{an}的公差d＝＝－2，a1＝9，所以an＝－2n＋11，可见{an}
4－2a5＋a62a52a6是递减数列，且a5>0>a6，a5＋a6＝0，于是S9＝×9>0，S10＝×10＝0，S11＝×
22211<0，从而该题选A.
[师说考点]
数列求和的关键是分析其通项，数列的基本求和方法有公式法、错位相减法、裂(拆)项相消法、分组法、倒序相加法和并项法等．
[典例] (2016·全国甲卷)等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6. (1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.
[解] (1)设数列{an}的首项为a1，公差为d，
数列求和 11（a1＋a11）
＝11a6＝22，即a6＝2，所以a3＋a7＋a8＝3a6
2
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