勾股定理及其应用

由折叠可得：AP=AB，PO=BO，∠PAO=∠BAO．∠APO=∠B． ∴∠APO=90°． ∴∠APD=90°﹣∠CPO=∠POC． ∵∠D=∠C，∠APD=∠POC． ∴△OCP∽△PDA． ②∵△OCP与△PDA的面积比为1：4， OC?OP?CP11∴PDPADA?4?2． ∴PD=2OC，PA=2OP，DA=2CP． ∵AD=8，∴CP=4，BC=8． 设OP=x，则OB=x，CO=8﹣x． 在Rt△PCO中， ∵∠C=90°，CP=4，OP=x，CO=8﹣x， 29

∴x2=（8﹣x）2+42． 解得：x=5． ∴AB=AP=2OP=10． ∴边AB的长为10． （2）如图1， ∵P是CD边的中点， 1∴DP=2DC． ∵DC=AB，AB=AP， 1∴DP=2AP． ∵∠D=90°， 30

DP1∴sin∠DAP=AP=2． ∴∠DAP=30°． ∵∠DAB=90°，∠PAO=∠BAO，∠DAP=30°， ∴∠OAB=30°． ∴∠OAB的度数为30°． （3）作MQ∥AN，交PB于点Q，如图2． ∵AP=AB，MQ∥AN， ∴∠APB=∠ABP，∠ABP=∠MQP． ∴∠APB=∠MQP． ∴MP=MQ． ∵MP=MQ，ME⊥PQ， 31

1∴PE=EQ=2PQ． ∵BN=PM，MP=MQ， ∴BN=QM． ∵MQ∥AN， ∴∠QMF=∠BNF． 在△MFQ和△NFB中， ∠QMF=∠BNF ∠QFM=∠BFN QM=BN ∴△MFQ≌△NFB． ∴QF=BF． 32