正弦余弦定理涵义及公式 一、同步知识梳理 一、正弦定理 1、正弦定理：在△ABC中，abc???2R（R为△ABC外接圆半径）。 sinAsinBsinC2、变形公式：（1）化边为角：a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC; （2）化角为边：sinA?abc,sinB?,sinC?; 2R2R2R （3）a:b:c?sinA:sinB:sinC （4） 3、正弦定理可解决两类问题： （1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（解唯一） （2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角. （解可能不唯一） 二、余弦定理 1、余弦定理：a?b?c?2bccosA?cosA?b?c?a2bc22222222a?b?cabc????2R. sinA?sinB?sinCsinAsinBsinC2 b?c?a?2accosB?cosB?c?a?b 2ca222c?a?b?2abcosC?cosC?a?b?c 2ab2222222、余弦定理可以解决的问题： （1）已知三边，求三个角；（解唯一） （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（解唯一）： （3）两边和其中一边对角，求另一边，进而可求其它的边和角.（解可能不唯一） 三、解三角形
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1、三角形面积公式：S?ABC 1111abc?ah?absinC?acsinB?bcsinA??2R2sinAsinBsinC 22224R二、同步题型分析 正弦定理 例题1、在?ABC中，角A,B,C所对的边分a,b,c.若acosA?bsinB，则sinAcosA?cos2B?( ) A．-11 B． C． -1 D． 1 22【分析】：题设已知边角之间的等式，通过正弦定理得到角之间的关系，再化简到结论中的形式 2【解析】∵acosA?bsinB，∴sinAcosA?sinB， 222∴sinAcosA?cosB?sinB?cosB?1. 变式1、在?ABC中,已知?BAC?60?,?ABC?45?,BC?3,则AC?_______. 【分析】题设一直两角和一个对边，根据正弦定理，求解另外一角所对的边长 【解析】由正弦定理得 变式2、在ABC中，若b?5,?B?AC3??AC?2 sin45?sin60??1,sinA?，则a? . 43【答案】52 3ab?1a552?,a?又b?5,?B?,sinA?所以? 1?sinAsinB433sin34【解析】：由正弦定理得 例题2、在△ABC中，已知a=3,b=2,B=45°,求A、C和c. 【分析】题设一直两边一角，根据正弦定理求解变长，但是由于正弦的值为正数有两个解，需要根据题设讨论两解是否都符合题意，从而求解所有角度和边长 【解析】 ∵B=45°＜90°且asinB＜b＜a,∴△ABC有两解. 由正弦定理得sinA=asinB33sin45?= =, b22则A为60°或120°. 2
①当A=60°时，C=180°-(A+B)=75°, c=bsinC2sin75?==sinBsin45?6?22sin(45??30?)=. 2sin45?②当A=120°时，C=180°-(A+B)=15°, c=bsinC2sin15?==sinBsin45?6?22sin(45??30?)=. 2sin45?故在△ABC中，A=60°,C=75°,c=A=120°,C=15°, c= 余弦定理 6?2. 26?2或 2例题1、设?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosA?35,cosB?,b?3,则c?______ 513【分析】题设已知两角余弦值，和一角对边长，从而先通过正弦定理求解变长，再根据余弦定理求解第三边 【解析】由cosA?35412,cosB??sinA?,sinB?, 51351343?bsinAab5?13, 由正弦定理得a???12sinB5sinAsinB13由余弦定理a2?c2?b2?2bccosA?25c2?90c?56?0?c?14 5例题2、设?ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知a?1，b?2，cosC?【分析】本小题主要考查三角函数的基本公式和余弦定理，同时考查基本运算能力 【解析】（Ⅰ）∵c?a?b?2abcosC?1?4?4?∴c?2 ∴?ABC的周长为a?b?c?1?2?2?5. 例题3、已知?ABC中，AB?3、BC?37、AC?4，求?ABC中的最大角。 【分析】 首先依据大边对大角确定要求的角，然后用余弦定理求解. 【解析】∵三边中BC?37最大，∴BC其所对角A最大， 2221，求?ABC的周长； 41?4 4AB2?AC2?BC232?42?(37)21根据余弦定理：cosA????， 2ABAC2?3?42∵ 0?A?180， ∴A?120 3
故?ABC中的最大角是A?120. 【总结】 1.?ABC中，若知道三边的长度或三边的关系式，求角的大小，一般用余弦定理； 2.用余弦定理时，要注意公式中的边角位置关系. 解三角形和正余弦定理应用 一、专题精讲 正、余弦定理解三角形 例题1、在△ABC中，a、b、c分别是角A，B，C的对边，且（1）求角B的大小； （2）若b=13，a+c=4，求△ABC的面积. 【分析】通过条件，把角转化成边之间的关系，整理后，根据余弦定理找到cosB的取值，从而求出角B，第二问根据余弦定理和题目条件构成方程组，求解ac的值，再根据面积公式求解三角形面积 a2?c2?b2【解析】 （1）由余弦定理知：cosB=， 2accosBb=-. cosC2a?ca2?b2?c2cosC=. 2abcosBb将上式代入=-得: cosC2a?c2abba2?c2?b2·2=- 2a?ca?b2?c22ac整理得: a+c-b=-ac 222a2?c2?b2?ac1∴cosB== =- 2ac22ac∵B为三角形的内角，∴B=（2）将b=13,a+c=4,B=2?. 32?代入 3b2=a2+c2-2accosB,得b2=(a+c)2-2ac-2accosB 1?2∴b=16-2ac??1??,∴ac=3. ?2?∴S△ABC=12acsinB=334. 4
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