二.真题反馈
1.(2018·齐齐哈尔)综合与探究
如图1所示,直线y=x+c与x轴交于点A(-4,0),与y轴交于点C,抛物线y=-x2+bx+c经过点A,C. (1)求抛物线的解析式;
(2)点E在抛物线的对称轴上,求CE+OE的最小值;
(3)如图2所示,M是线段OA上的一个动点,过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P,N.
①若以C,P,N为顶点的三角形与△APM相似,则△CPN的面积为 ; ②若点P恰好是线段MN的中点,点F是直线AC上的一个动点,在坐标平面内是否存在点D,使以点D,F,P,M为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
2. (2019·邵阳)如图,二次函数y=-x2+bx+c的图象过原点,与x轴的另一个交点为(8,0).
(1)求该二次函数的解析式;
(2)在x轴上方作x轴的平行线y1=m,交二次函数图象于A,B两点,过A,B两点分别作x轴的垂线,垂足分别为点D,点C.当矩形ABCD为正方形时,求m的值; (3)在(2)的条件下,动点P从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长度匀速运动,同时动点Q以相同的速度从点A出发沿线段AD匀速运动,到达点D时立即原速返回,当动点Q返回到点A时,P,Q两点同时停止运动,设运动时间为t秒(t>0).
过点P向x轴作垂线,交抛物线于点E,交直线AC于点F,问:以A,E,F,Q四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形.若能,请求出t的值;若不能,请说明理由.
类型四 探究全等、相似三角形的存在性问题 一.规律总结
解答该类问题,一定要注意全等三角形或相似三角形的对应元素,一般题目没有明确指出两个三角形的对应顶点,尤其是以文字形式表述的问题,就需要分类讨论求解.若需求解运算,还要注意数形结合思想与方程思想的运用. 二.真题反馈
1.(2019·安顺)如图,抛物线y=2x2+bx+c与直线y=2x+3分别相交于
A,B两点,且此抛物线与x轴的一个交点为C,连接AC,BC.已知A(0,3),C(-3,0). (1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线对称轴l上找一点M,使|MB-MC|的值最大,并求出这个最大值; (3)点P为y轴右侧抛物线上一动点,连接PA,过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q,问:是否存在点P使得以A,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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2.(2018·德州)如图1,在平面直角坐标系中,直线y=x-1与抛物线y=-x2+bx+c交于A,B两点,其中A(m,0),B(4,n),该抛物线与y轴交于点C,与x轴交于另一点D.
(1)求m,n的值及该抛物线的解析式;
(2)如图2,若点P为线段AD上的一动点(不与点A,D重合),分别以AP,DP为斜边,在直线AD的同侧作等腰直角△APM和等腰直角△DPN,连接MN,试确定△MPN面积最大时P点的坐标;
(3)如图3,连接BD,CD,在线段CD上是否存在点Q,使得以A,D,Q为顶点的三角形与△ABD相似,若存在,请直接写出点Q的坐标,若不存在,请说明理由.
类型五 二次函数与圆的综合探究题 一.规律总结
抛物线与圆有关的综合题,注意圆与抛物线知识的融合,如圆过坐标原点时,注意直角对的弦是圆的直径;如圆与抛物线都是轴对称图形等等,把握它们知识的融合点易于帮助我们寻找解决问题的突破口.另外,该类问题亦常常涉及利用勾股定理求两点间的距离. 二.真题反馈
1.(2018·滨州)如图1,在平面直角坐标系中,圆心为P(x,y)的动圆经过点A(1,2)且与x轴相切于点B. (1)当x=2时,求☉P的半径;
(2)求y关于x的函数解析式,请判断此函数图象的形状,并在图2中画出此函数的图象;
(3)请类比圆的定义(圆可以看成是到定点距离等于定长的所有点的集合),给(2)中所得函数图象进行定义:此函数图象可以看成是到 的距离等于到 的距离的所有点的集合.
(4)当☉P的半径为1时,若☉P与以上(2)中所得函数图象相交于点C,D,其中交点D(m,n)在点C的右侧.请利用图2,求cos∠APD的大小.
2.(2019·潍坊)如图,在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,点A(4,0),点B(0,4),△ABO的中线AC与y轴交于点C,且☉M经过O,A,C三点. (1)求圆心M的坐标;
(2)若直线AD与☉M相切于点A,交y轴于点D,求直线AD的函数表达式; (3)在过点B且以圆心M为顶点的抛物线上有一动点P,过点P作PE∥y轴,交直线AD于点E.
若以PE为半径的☉P与直线AD相交于另一点F.当EF=4时,求点P的坐标.
3.(2018·日照)如图,已知点A(-1,0),B(3,0),C(0,1)在抛物线y=ax2+bx+c上. (1)求抛物线解析式;
(2)在直线BC上方的抛物线上求一点P,使△PBC面积为1;
(3)在x轴下方且在抛物线对称轴上,是否存在一点Q,使∠BQC=∠BAC?若存在,求出Q点坐标;若不存在,说明理由.
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