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勾股定理
考点沙场点兵
1．会用勾股定理解决简单问题.
2．会用勾股定理的逆定理判定直角三角形. 3．勾股定理提示了直角三角形三边的关系，对于线段的计算，常可由勾股定理列方程进行求解；对于涉及平方关系的等式证明，可根据勾股定理进行论证.
经典·考题·赏析
【例1】 (达州)如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是( )
A．13 B．26 C．47 D．94
【变式题组】
01．(安徽)如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是1和2，则正方
形的边长是___________.
D A 1 B 第1题图
C 2 l 第2题图
A C B l1 l3 l2 第3题图
02．(浙江省温州)在直线l上的依次摆放着七个正方形(如图所示)，己知斜放置的三个正方形的面积
分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝______. 03．(浙江省丽江)如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条
直线l1、l2、l3上，且l1、l2之间的距离为2，l2、l3之间的距离为3，则AC的长是( ) B
6cm
【例2】(青岛)如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为
A 3cm 1cm
6cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么
所用细线最短需要_____cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要______cm.
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A．217 B．25 C．42 D．7
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【变式题组】
01．(恩施)如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要
沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是( )
A．521
B．25
C．105?5
D．35
B 2吸管
B
C A
10
A 10 A D F M N
6 5 第2题图
B E C
02．(荆州)如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5×6×10(单位:cm)，在上盖中开有
一孔便于插吸管，吸管长为13cm，小孔到图中边AB距离为1cm，到上盖中与AB相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的长为hcm，则h的最小值大约为_____cm.(精确到个位，
参考数据:2＝1．4，3＝1．7:5＝2．2)
03．(荆州)若一边长为40cm的等边三角形硬纸板刚好能不受损地从用铁丝围成的圆形铁圈中穿过，
则铁圈直径最小值为_____cm.(铁丝粗细忽略不计)
【例3】(荆州)如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为NM，则线段CN的长是( )
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【解法指导】对折问题即对称问题，设CN＝x，DN＝NE＝8－x.在Rt△CEN中，(8－x)2＝42＋x2 x＝5.故选C
【变式题组】
01．在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，CD＝13，AD＝12．求S四边形ABCD．
D A
C B 02．如图，△ABC中，AB＝13，AD＝6，AC＝5 ，D为BC边的中点.求S△ABC．
15 第1题
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03．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，BC＝4，CD＝
3.求AC． 2
【例4 】（四川省初二数学联赛试题)如图，直线OB是一次函数y＝－2x的图象，点A的坐标为(0，2)，在直线OB上找点C，使得△ACO为等腰三角形，求点C坐标.
【解法指导】求C点坐标需分类讨论.
y (1)若以O为顶点，OA为腰，则C在以O为圆心，OA的长y＝－2x 为半径的圆与y＝－2x的交点处.
A (2)若以A为顶点，AO为腰，则C在以A为圆心， AO的长为半径的圆与y＝－2x的交点处.
O x (3)若以C为顶点，则C在OA的中垂线与y＝－2x的交点处.
B
【变式题组】 01．若A（3，2），B为x轴上一点，O为坐标原点.若△AOB是等腰三角形.求B点坐标.
02．如图，在平面直角坐标系中，A(4，0)，B为y＝2x上一点，若△AOB为等腰三角形.求B点坐
y y＝2x 标.
x A(4,0) O
03．如图.在平面直角坐标系中，A(0，4)，B为y＝2x上一点，若△AOB为直角三角形.求B点坐标.
y y＝2x A
x O
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【例5】(福建省漳州)几何模型：条件：如下左图，A、B是直线l同旁的两个定点. 问题：在直线l上确定一点P，使PA＋PB的值最小.
方法：作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B交l于点P，则PA＋PB＝A'B的值最小(不必证明).
模型应用：⑴如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点.连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称.连接ED交AC于P，则PB＋PE的最小值是__________；
(2)如图2，∠AOB＝45°，P是∠AOB内一点，PO＝10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值. B B P1 B B P R E P R A l A C P P A O Q A O Q A
图2 D
P2
图1
【变式题组】
01．(荆门)一次函数y＝kx＋b的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）.
⑴求该函数的解析式；
⑵O为坐标原点，设OA 、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC＋PD的最
y 小值，并求取得最小值时P点坐标.
B D P
O C A
x
02．（四川联赛试题)已知矩形ABCD的AB＝12，AD＝3，E、F分别是AB，DC上的点，则折线AFEC
长的最小值为____________. 03．(陕西)如图，在锐角△ABC中，AB＝45，∠BAC＝45°，∠BAC的平
分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是___________.
【例6】求x?4＋
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4
2C M A N D B
C F
E B
x H 8－x 4 D
?8?x?2?16的最小值.
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