最新精品数学资料 22．3 相似三角形的性质
第1课时 相似三角形的性质定理1、2及应用
DEAG1012∴＝，即＝. BC AH15AH
1．明确相似三角形对应高的比、对应∴AH＝18.
角平分线的比和对应中线的比与相似比的∴GH＝AH－AG＝18－12＝6. 关系；(重点) 方法总结：利用相似三角形的性质：对
2．理解并掌握相似三角形的周长比等应高的比等于相似比；将所求线段转化为求于相似比；(重点) 对应高的差．
3．运用相似三角形的性质1、2解决实【类型二】 相似三角形对应角平分线际问题．(难点) 的比 两个相似三角形的两条对应边的 长分别是6cm和8cm，如果它们对应的两条
角平分线的和为42cm，那么这两条角平分
线的长分别是多少？
一、情境导入 解：(方法一)设其中较短的角平分线的在前面我们学习了相似多边形的性质，长为xcm，则另一条角平分线的长为(42－
x)cm. 知道相似多边形的对应角相等，对应边成比
例，相似三角形是相似多边形中的一种，因x6
根据题意，得＝.解得x＝18.
42－x8此三对对应角相等，三对对应边成比例．那
么，在两个相似三角形中是否只有对应角相所以42－x＝42－18＝24(cm)． 等、对应边成比例这个性质呢？本节课我们(方法二)设较短的角平分线长为xcm，将研究相似三角形的其他性质． x6
则由相似性质有＝.解得x＝18.较长的
4214二、合作探究 探究点一：相似三角形性质定理1
【类型一】 相似三角形对应高的比 如图，△ABC中，DE∥BC，AH
⊥BC于点H，AH交DE于点G.已知DE＝10，BC＝15，AG＝12.求GH的长．
角平分线长为24cm.
故这两条角平分线的长分别为18cm，24cm.
方法总结：在利用相似三角形的性质解题时，一定要注意“对应”二字，只有对应线段的比才等于相似比，而相似比即为对应边的比．列比例式时，尽可能回避复杂方程的变形．
【类型三】 相似三角形对应中线的比 已知△ABC∽△A′B′C′，
AB2＝，A′B′3
解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC.
又∵AH⊥BC，DE∥BC， ∴AH⊥DE.
AB边上的中线CD＝4cm，求A′B′边上的中线C′D′的长．
解：∵△ABC∽△A′B′C′，CD是AB边
上的中线，C′D′是A′B′边上的中线，
∴
CDC′D′＝ABA′B′＝2
3
， 又∵CD＝4cm，
∴C′D′＝3CD2＝3
2×4＝6(cm)．
即A′B′边上的中线C′D′的长是6cm.
方法总结：相似三角形对应中线的比等于相似比．
探究点二：相似三角形性质定理1的应用
如图所示，路边有两根电线杆，
分别在高为3m的A处和6m的C处用铁丝将两电线杆固定，求铁丝AD与铁丝BC的交点M距地面的高．
解析：如图所示，过点M作MH⊥BD于点H.由题意得AB∥MH∥CD，故△ABM∽△DCM，△BMH∽△BCD，故BMMC＝AB
CD＝12，MHCD＝BMBC
，故MH可求． 解：过点M作MH⊥BD于点H，∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴AB∥MH∥CD，∴△ABM∽△DCM，△BMH∽△BCD.∴
BM
MC
＝AB31CD＝6＝2，∴BMBC＝13.又∵BMBC＝MHCD，∴MHCD＝13，∴MH＝13CD＝13×6＝2(m)，即点M距地面的高为2m.
探究点三：相似三角形的周长比
已知△ABC∽△A′B′C′，AD是△ABC的中线，A′D′是△A′B′C′的中线，若
AD
A′D′＝1
2，且△A′B′C′的周长为20cm，求△ABC的周长．
解：因为△ABC∽△A′B′C′，所以它们
周长的比等于它们的相似比，对应边中线的比等于相似比，即相似比k＝ADA′D′＝1
2
，△ABC的周长△A′B′C′的周长＝1
2
.
已知△A′B′C′的周长为20cm，所以△ABC的周长为10cm.
易错提醒：在相似表达式△ABC∽△A′B′C′及对应中线比
ADA′D′＝1
2
中，都是△ABC在前，△A′B′C′在后，而在解题时，△A′B′C′在前，△ABC在后，顺序已经不同了，所以相似比要随之调整或者直接把相关量代入关系式中求解．
三、板书设计
1．相似三角形中的对应线段之比：相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比．
2．相似三角形的周长之比等于相似比．
通过探索相似三角形中对应线段和周长的比与相似比的关系，经历“观察－猜想－论证－归纳”的过程，渗透逻辑推理的方法，培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度，并在其中体会类比的数学思想，培养学生大胆猜测、勇于探索、勤于思考的数学品质，提高分析问题和解决问题的能力．
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