初中数学竞赛题汇编(代数部分1)

初中数学竞赛题汇编

（代数部分1）

江苏省泗阳县李口中学 沈正中 精编、解答

例1若m2＝m＋1，n2＝n＋1，且m≠n，求m5＋n5的值。 解：由已知条件可知，m、n是方程x2－x－1＝0两个不相等的根。 ∴m＋n＝1，mn＝－1

∴m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝3或m2＋n2＝m＋n＋2＝3 又∵m3＋n3＝(m＋n) (m2－mn＋n2)＝4

∴m5＋n5＝(m3＋n3) (m2＋n2)－(mn)2(m＋n)＝11 例2已知

解：设 ，则

u＋v＋w＝1……① ……②

由②得 即 uv＋vw＋wu＝0

将①两边平方得

u2＋v2＋w2＋2(uv＋vw＋wu)＝1 所以u2＋v2＋w2＝1 即

例3已知x4+x3+x2+x+1＝0，那么1+x+x2+x3+x4+……x2014＝ 。 解：1+x+x2+x3+x4+…x2014＝(1+x+x2+x3+x4)+(x5+x6+x7+x8+x9)+…+(x2010+x2011+x2012+x2013+x2014)＝(1+x+x2+x3+x4)+x5(1+x+x2+x3+x4)+… + x2010(1+x+x2+x3+x4)＝0

例4：证明循环小数 为有理数。 证明：设 ＝x … ① 将①两边同乘以100，得

… ②

②－①，得 99x＝261.54－2.61 即x＝ 。

例5：证明 是无理数。

证明（反证法）：假设 不是无理数，则 必为有理数，设 ＝ （p、q是互质的自然数） ，两边平方有 p2＝2q2 … ①， 所以p一定是偶数，设p＝2m（m为自然数），代入①整理得q＝2m2， 所以q也是偶数。p、q均为偶数与p、q是互质矛盾，所以 不是有理数，即为有理数。

例6： ； ； 。 解：

例7：化简 （1） ； （2）

（3） ；（4） ；

（5） ； （6） 。

解：（1）方法1

方法2 设 ，两边平方得：

由此得

解之得 或 所以 。

（3）

（4）设 ，两边平方得：

由此得 解之得

所以 ＝ ＋1＋

（5）设 则 所以

（6）利用(a＋b)3＝a3＋b3＋3ab(a＋b)来解答。 （2）

设 两边立方得：

即 x3－6x－40＝0

将方程左边分解因式得(x－4)(x2＋4x＋10)＝0 因(x2＋4x＋10)＝(x＋2)2＋6＞0 所以(x－4)＝0 ， 即x＝4 所以 ＝4 例8：

解：用构造方程的方法来解。设原式为利用根号的层数是无限的特点，有 ，两边平方得 即 继续两边平方得x4－4x2＋4＝2＋x，即x4－4x2－x＋2＝0， 左边分解因式得(x＋1)(x－2)(x2＋x－1)＝0 求得x1＝－1，x2＝2，x3＝ 。 因0＜x＜2，所以x＝－1、x＝2、x＝ 应舍去，

所以x＝ 即 ＝ 。 例9：设 的整数部分为x，小数部分为y，试求

的值。

解：

而 所以x＝2，y＝ 因此

＝ 。

例10：已知x＋y＋z＝3a (a≠0，且x、y、z不全相等)，求

的值。

解：设x－a＝u，y－a＝v，z－a＝w，则

＝ 且有已知有u＋v＋w＝0，将u＋v＋w＝0两边平方得 u2＋v2＋w2＋2(uv＋vw＋wu)＝0 由于x、y、z不全相等，所以u、v、w不全为零，所以u2＋v2＋w2≠0，故

＝ ＝ 例11：已知x＝ 求 的值。 解：

所以x－4＝－ (x－4)2 ＝3，x2－8x＋13＝0 ， 所以，原式分子x4－6x3－2x2＋18x＋23

＝(x4－8x3＋13x2)＋(2x3－16x2＋26x)＋(x2－8x＋13)＋10 ＝x2(x2－8x＋13)＋2x(x2－8x＋13)＋(x2－8x＋13)＋10＝10， 原式分母x2－8x＋15＝(x2－8x＋13)＋2＝2， 所以 ＝ ＝5 。

例12：已知 ＝ ＝

求 的值

解：方法1 当a＋b＋c≠0时，据等比定理有 ＝ ＝

＝ ＝1 由此得a＋b－c＝c，b＋c－a＝a，c＋a－b＝b

所以 ＝ ＝8。

当a＋b＋c＝0时， ＝ ＝－1。

方法2 设 ＝ ＝ ＝k，则 a＋b＝(k＋1)c…①，b＋c＝(k＋1)a…②，c＋a＝(k＋1)b…③，