初中数学竞赛题汇编(代数部分1)

①＋②＋③得2(a＋b＋c)＝(k＋1) (a＋b＋c)， 即(a＋b＋c) (k－1)＝0，

故k＝1或a＋b＋c＝0， 以下同上。

例13：计算 … + 解： … +

＝ + + … + ＝( )+( )+( )+… + ( )

＝ + + +…+ ＝ ＝ 。

例14：分解因式（1）x3－9x＋8；（2）(x2＋x＋1)(x2＋x＋2)－12；。

（3）(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)；（4）x2+3xy+2y2+4x+5y+3。 解：（1）方法1：x3－9x＋8=x3－9x－1＋9=(x3－1)－9x＋9

=(x－1)(x2＋x＋1)－9(x－1)=(x－1)(x2＋x－8) 方法2：x3－9x＋8=x3－x－8x＋8=(x3－x)+(－8x＋8)

=x(x＋1)(x－1)－8(x－1)=(x－1)(x2＋x－8)

方法3：x3－9x＋8=9x3－8x3－9x＋8=(9x3－9x)+(－8x3＋8)

=9x(x＋1)(x－1)－8(x－1)(x2＋x＋1) =(x－1)(x2＋x－8)

方法4：x3－9x＋8=x3－x2＋x2－9x＋8

=(x3－x2)＋(x2－9x＋8)=x2(x－1)＋(x－8)(x－1) =(x－1)(x2＋x－8)

（2）设x2+x=y，则(x2+x+1)(x2+x+2)-12=(y+1)(y+2)-12

=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5) =(x-1)(x+2)(x2+x+5)

（3）(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．

令x+y=u，xy=v，则

(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy] = (u2-v)2-4v(u2-2v) = u4-6u2v+9v2 = (u2-3v)2 =(x2+2xy+y2-3xy)2 = (x2-xy+y2)2

（4）方法1：设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n) =x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn， 比较两边对应项的系数，则有

解之得m=3，n=1．

所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．

方法2：x2+3xy+2y2+4x+5y+3

x y 常数 1 1 1

1 2 3 即= (x+y+1) (x+2y+3) ．

例15：化简

解：因这个代数式的特性时轮换对称式，只要对其中的一项进行变形， 然后再对其他项进行轮换即可。

所以

＝( － )＋( － )＋( － )＝0 。

例16：已知 证明 a2＋b2＋c2＝(a＋b－c)2 。 证明（分析法）：因 (a＋b－c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab－2bc－2ca

所以 要证 a2＋b2＋c2＝(a＋b－c)2

只要证ab＝ac＋bc 只要证c(a＋b)＝ab

只要证 （因为也为a、b、c都不为0）

即

最后的等式正好是题设，而以上推理每一步都可逆，故所求证的等

式成立．

例17：已知a4+b4+c4+d4=4abcd，且a，b，c，d都是正数，求证：a=b=c=d． 证明： 由已知可得 a4+b4+c4+d4-4abcd=0， (a2-b2)2+(c2-d2)2+2a2b2+2c2d2-4abcd=0， 所以(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0． 因为(a2-b2)2≥0，(c2-d2)2≥0，(ab-cd)2≥0， 所以a2-b2=c2-d2=ab-cd=0， 所以 (a+b)(a-b)=(c+d)(c-d)＝0．

又因为a，b，c，d都为正数，所以a+b≠0，c+d≠0， 所以a＝b，c=d．

所以ab-cd=a2-c2=(a+c)(a-c)=0， 所以a＝c．故a=b＝c=d成立．

例18：m是什么整数时，方程(m2-1)x2-6(3m-1)x＋72＝0 有两个不相等的正整数根．

解：首先，m2-1≠0，m≠±1．Δ=36(m-3)2＞0，所以m≠3． 用求根公式可得 由于x1，x2是正整数，

所以m-1=1，2，3，6； m+1=1，2，3，4，6，12， 解得m=2．这时x1=6，x2=4．

? ， a≠b≠c 求证：a2b2c2=1。 例19：己知 a+ ? b ? ? c 11b?cb?c证明：由己知得：a-b= c ? b ? bc ， 所以 bc = ，

a?bc?aa?b

同理得 ca = ， ab = ，

b?cc?a1b1c1a

所以 ab·bc·ca＝ × × ＝1，即a2b2c2=1。

a?bc?ab?ca?bc?ab?c例20：己知:ax2+bx+c是一个完全平方式（a、b、c是常数），

求证：b2－4ac=0

证明：设 ax2+bx+c＝(mx+n)2，m、n是常数，

则 ax2+bx+c＝m2x2+2mnx+n2 根据恒等式的性质得

所以 b2－4ac＝(2mn)2－4m2n2=0