等差数列的概念及性质
1.等差数列的定义：an?an?1?d（d为常数）（n?2）；
说明．等差数列定义的几个特点：
⑴公差是从第二项起，每一项减去它前一项的差是“同”一个常数，
即d = an－an?1(n≥2)或d = an?1－an (n?N?)．
例：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于常数，该数列还是等差数列吗？
提示：不一定．必须是同一个常数，才能保证该数列为等差数列．
⑵要证明一个数列是等差数列，必须对任意n?N?
，an－an?1= d (n≥2)或d = an?1－an都成立．一般采用的形式为： ① 当n≥2时，有an－an?1= d (d为常数)． ②当n?N?时，有an?1－an= d (d为常数)． ③当n≥2时，有an?1－an= an－an?1成立．
若判断数列{ an}不是等差数列，只需有a3－a2≠a2－a1即可．
欲求等差数列的通项公式，只需确定它的首项a1和公差d，然后代入公式an＝a1＋(n－1)d即可． 2．等差数列通项公式：
如果等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则它的通项公式为an＝a1＋(n－1)d. 说明：1.an?a1?(n?1)d?dn?a1?d(n?N*)
（等差数列的通项公式是关于n的一次函数，其中n的系数即为公差）
2.首项:a1，公差:d，末项:an。即d = an－an?1(n≥2)或d = an?1－an (n?N?)． 3.推广： an?am?(n?m)d． 从而d?3．等差中项
an?am；
n?ma?b，则A是a与b的等差中项； 2a?ba?b若A=，则a、A、b成等差数列，故A=是a、A、b成等差数列，的充要条件。
22若a、A、b成等差数列，即A=
由于an=
an?1?an?1，所以，等差数列的每一项都是它前一项与后一项的等差中项。 2若三数a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，即b为a，c的等差中项，这个结论在已知等差数列的题中经常用到．
例2．若a是3与5的等差中项，则a为何值？提示：3＋5＝2a，即a＝4.
a?b （1）如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：A?或2A?a?b
2 （2）等差中项：数列?an?是等差数列?2an?an-1?an?1(n?2)?2an?1?an?an?2
说明：1.在等差数列中，从第一项起，每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的等差中项． 4．等差数列的判定方法
（1） 定义法：若an?an?1?d或an?1?an?d(常数n?N)? ?an?是等差数列．
?（2） 等差中项：数列?an?是等差数列?2an?an-1?an?1(n?2)?2an?1?an?an?2．
（3） 数列?an?是等差数列?an?kn?b（其中k,b是常数）。 6．等差数列的证明方法
定义法：若an?an?1?d或an?1?an?d(常数n?N)? ?an?是等差数列．
?7.等差数列的性质：
（1）当公差d?0时，等差数列的通项公式an?a1?(n?1)d?dn?a1?d是关于n的一次函 数，且斜率为公差d；
（2）若公差d?0，则为递增等差数列，若公差d?0，则为递减等差数列，若公差d?0，则为常数列。 （3）当m?n?p?q时,则有am?an?ap?aq，
特别地，当m?n?2p时，则有am?an?2ap.
⑷对任何m、n?N?，在等差数列{ an}中有：an= am+ (n－m)d，特别地，
当m = 1时，便得等差数列的通项公式，此式较等差数列的通项公式更具有一般性． ⑸、一般地，如果l，k，p，…，m，n，r，…皆为自然数， 且l + k + p + … = m + n + r + … （两边的自然数个数相等）， 那么当{an}为等差数列时，有：al+ ak+ ap+ … = am+ an+ ap+ … ．
3．等差数列的基本性质
⑼当公差d＞0时，等差数列中的数随项数的增大而增大；当d＜0时，等差数列中的数随项数的减少而减小；d＝0时，等差数列中的数等于一个常数．
⑺如果{ an}是等差数列，公差为d，那么，an，an?1，…，a2、a1也是等差数列，其公差为－d；
⑴公差为d的等差数列，各项同加一数所得数列仍是等差数列，其公差仍为d． ⑵公差为d的等差数列，各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列，其公差为kd．
⑶若{ an}、{ bn}为等差数列，则{ an±bn}与{kan＋b}(k、b为非零常数)也是等差数列．
（4）若?an?、?bn?为等差数列，则??an?b?，??1an??2bn?都为等差数列
⑹公差为d的等差数列，从中取出等距离的项（项数成等差），构成一个新数列，此数列仍是等差数列，其公差为kd( k为取出项数之差)．既：数列{an}为等差数列,每隔k(k?N*)项取出
一项(am,am?k,am?2k,am?3k,???)仍为等差数列。公差为kd
在等差数列{ an}中，am?l－al= am?k－ak= md ．(其中m、k、l?N?) ⑽设al，am，an为等差数列中的三项，且al与am，am与an的项距差之比
l?m=?（?m?n≠－1），则am=
al??an． 1??⑻在等差数列中，从第一项起，每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的等差中项．
(9)若数列{an}成等差数列，则an＝pn＋q(p、q∈R)；
对于项数有限的等差数列，用“对称设项”的方法来设项能达到化多为少的目的(特别是在已知其和时)，三个数的“对称设项”是x－d，x，x＋d；五个数是x－2d，x－d，x，x＋d，x＋2d；四个数则是x－3d，x－d，x＋d，x＋3d等等．
第一课时 等差数列的概念及通项公式
一、等差数列的通项公式
5．等差数列1，－3，－7，－11，?的通项公式是________，它的第20项是________．解析：数列中a2＝－3，a1＝1，∴d＝a2－a1＝－4.
通项公式为an＝a1＋(n－1)×d＝1＋(n－1)×(－4)＝－4n＋5， a20＝－80＋5＝－75.
答案：an＝－4n＋5 －75
6．已知等差数列{an}中，a4＝8，a8＝4，则其通项公式an＝________.
解析：∵由a??a1＋3d＝8，
4＝8，a8＝4，得???
ad＝4.
∴d＝－1，a1＝8－3d＝11.
1＋7∴an＝a1＋(n－1)d＝11－(n－1)＝12－n. 答案：12－n
1．{an}是首项a1＝1，公差d＝3的等差数列，如果an＝2 011，则序号n等于 ( A．668 B．669 C．670 D．671 解析：∵an＝a1＋(n－1)·d，∴2 011＝1＋(n－1)×3，n＝671. 答案：D
)
1．已知等差数列{an}的通项公式为an＝5－4n，则它的公差为 ( ) A．4 B．5 C．－4 D．－5
解析：∵an＝5－4n，∴an＋1＝5－4(n＋1)．则an＋1－an＝5－4(n＋1)－5＋4n＝－4＝d. 答案：C
2．等差数列1，－1，－3，?，－89的项数是 ( ) A．92 B．47 C．46 D．45 解析：等差数列中a2＝－1，a1＝1，d＝a2－a1＝－2.
an＝－89＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×(－2)得n＝46.答案：C 1．在等差数列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，求a10.
?a5＝a1＋4d＝11， ①?
解：∵?
?a＝a＋7d＝5， ②?81
②－①得3d＝－6，d＝－2，代入①得a1＝11－4d＝19 ∵an＝a1＋(n－1)d，∴a10＝19＋(10－1)×(－2)＝1.
3．在等差数列{an}中：a10＝30，a20＝50，则a40＝ ( ) A．40 B．70 C．80 D．90 解析：法一：设该数列的公差为d.则 a20－a1050－30d＝＝＝2.∴a40＝a20＋20d＝50＋20×2＝90.
1010
a20＋a40a20＋a40
法二：可知a10＋a30＝2a20，a30＝.∴a10＋＝2a20.
22
∴a40＝3a20－2a10＝3×50－2×30＝90. 答案：D
d1变式5．若m≠n，两个等差数列m，a1，a2，n与m，b1，b2，b3，n的公差分别为d1和d2，则的值d2
为________．
1
解析：n－m＝3d1，d1＝(n－m)．
3
1
?n－m?
1d1344
又n－m＝4d2，d2＝(n－m)，∴＝＝.答案：
4d2133
?n－m?4
4．在数列{an}中，a1＝2,2an＋1＝2an＋1，则a101的值是 ( ) A．52 B．51 C．50 D．49
11
解析：∵2an＋1＝2an＋1，∴2(an＋1－an)＝1.即an＋1－an＝.∴{an}是以为公差的等差数列．
22
a101＝a1＋(101－1)×d＝2＋50＝52.答案：A
6．已知{an}是等差数列，分别根据下列条件写出它的通项公式． (1)a3＝5，a7＝13；
(2)前三项为a,2a－1,3－a.
解：(1)法一：设首项为a1，公差为d， ?a3＝a1＋2d＝5，?a1＝1，??则?解得? ??a＝a＋6d＝13，d＝2，?7?1
∴an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1. ∴通项公式是an＝2n－1.
a7－a313－5
法二：∵d＝＝＝2，∴an＝a3＋(n－3)d＝5＋(n－3)×2＝2n－1.
47－3
∴通项公式是an＝2n－1.
5
(2)∵a,2a－1,3－a是等差数列的前三项，∴(2a－1)－a＝(3－a)－(2a－1)．解得a＝.
4
1
∴d＝(2a－1)－a＝a－1＝.
45111
∴an＝a1＋(n－1)d＝＋(n－1)×＝n＋1.∴通项公式是an＝n＋1.
4444
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