第1讲 平面向量的概念及线性运算
一、知识梳理 1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． (2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
[注意] (1)向量不同于数量，向量不仅有大小，而且还有方向． (2)任意向量a的模都是非负实数，即|a|≥0. 2．向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 求两个向量和的运加法 算 ＋(b＋c) 结合律：(a＋b)＋c＝a 求a与b的相反向减法 量－b的和的运算 求实数λ与向量a数乘 的积的运算 当λ<0时，λa与 a的方向相a； a－b＝a＋(－b) |λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λ(μ a)＝(λμ)a； λa与a的方向相同； (λ＋μ)a＝λa＋μ 1
反； 当λ＝0时， λ(a＋b)＝λa＋λb λ a＝0 3.向量共线定理
向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa． 常用结论 1．两特殊向量
(1)零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模是确定的，但方向不确定． (2)非零向量a的同向单位向量为.
|a|2．几个重要结论
→1→→
(1)若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP＝(OA＋OB)．
2→→→
(2)OA＝λOB＋μOC(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1. (3)若G为△ABC的重心，则有 →→→→1→→①GA＋GB＋GC＝0；②AG＝(AB＋AC)．
3二、习题改编
→→
1．(必修4P86例4改编)已知?ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且OA＝a，OB＝b，→→
则DC＝ ，BC＝ ．(用a，b表示)
→→→→→→→→→
解析：如图，DC＝AB＝OB－OA＝b－a，BC＝OC－OB＝－OA－OB＝－a－b.
a
答案：b－a －a－b
→→→→
2．(必修4P118A组T2(3)改编)在平行四边形ABCD中，若|AB＋AD|＝|AB－AD|，则四边形ABCD的形状为 ．
→→→→→→→→
解析：如图，因为AB＋AD＝AC，AB－AD＝DB，所以|AC|＝|DB|.由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD是矩形．
2
答案：矩形
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( ) (2)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．( )
→→
(3)若向量AB与向量CD是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．( ) (4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ 二、易错纠偏
常见误区(1)对向量共线定理认识不准确； (2)向量的减法忽视两向量的方向关系致误．
1．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A.若a＋b＝0，则a＝－b，所以a∥b.若a∥b，则a＋b＝0不一定成立．故前者是后者的充分不必要条件．
→
2．点D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD＝( )
A．－BC＋BA C. BC－BA
答案：A →
1→2
→1→
2→1→B．－BC－BA
2→1→D．BC＋BA
2
3
平面向量的有关概念(师生共研)
给出下列命题：
①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；
→→
③若A，B，C，D是不共线的四点，且AB＝DC，则四边形ABCD为平行四边形； ④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b. 其中真命题的序号是 ．
【解析】 ①是错误的，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．
②是错误的，|a|＝|b|，但a，b的方向不确定，所以a，b的方向不一定相等或相反． →→→→→→
③是正确的，因为AB＝DC，所以|AB|＝|DC|且AB∥DC，又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形．
④是错误的，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．
【答案】 ③
平面向量有关概念的四个关注点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．
(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量．
|a||a|
1．给出下列命题：
→→
①向量AB的长度与向量BA的长度相等；
②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反； ③|a|＋|b|＝|a＋b|?a与b方向相同；
④若非零向量a与非零向量b的方向相同或相反，则a＋b与a，b之一的方向相同．
aa 4
其中叙述错误的命题的个数为( ) A．1 C．3
B．2 D．4
解析：选C.对于②：当a＝0时，不成立；对于③：当a，b之一为零向量时，不成立；对于④：当a＋b＝0时，a＋b的方向是任意的，它可以与a，b的方向都不相同．故选C.
2．下列与共线向量有关的命题： ①相反向量就是方向相反的向量； ②a与b同向，且|a|＞|b|，则a＞b；
③两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件． 其中错误命题的序号为 ．
解析：因为相反向量是方向相反，大小相等的两个向量，所以命题①是错误的；因为向量是既有大小又有方向的量，所以任何两个向量都不能比较大小，所以命题②是错误的；因为两个向量平行不能推出两个向量相等，而两个向量相等，则这两个向量平行，因此两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件，所以命题③是正确的．
答案：①②
平面向量的线性运算(师生共研)
→1→→
(1)(一题多解)(2020·合肥市第二次质量检测)在△ABC中，BD＝BC，若AB＝a，
3
→
AC＝b，则AD＝( )
21A.a＋b 3312C.a－b 33
12B.a＋b 3321D．a－b 33
→
→→→
(2)(2020·河南八市联考改编)在等腰梯形ABCD中，AB＝2DC，点E是线段BC的中点，→→→
若AE＝λAB＋μAD，则λ＝ ，μ＝ ．
【解析】 (1)通解：如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点E，F，则四
5
→→→→1→→2→→1→→
边形AEDF为平行四边形，所以AD＝AE＋AF.因为BD＝BC，所以AE＝AB，AF＝AC，所以AD＝
3332→1→21
AB＋AC＝a＋b，故选A. 3333
2→1→21→→→→1→→1→→
优解一：AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC＝a＋b，故选A.
333333→1→→→1→→→→1→→2→1→2
优解二：由BD＝BC，得AD－AB＝(AC－AB)，所以AD＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC＝a3333331
＋b，故选A. 3
(2)取AB的中点F，连接CF，则由题意可得CF∥AD，且CF＝AD.
3→→→→1→→1→→→1?→1→?3→1→
因为AE＝AB＋BE＝AB＋BC＝AB＋(FC－FB)＝AB＋?AD－AB?＝AB＋AD，所以λ＝，
2?4222?24
μ＝.
31
【答案】 (1)A (2) 42
向量线性运算的解题策略
(1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则．
(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．
1．下列四个结论： →→→
①AB＋BC＋CA＝0； →→→→
②AB＋MB＋BO＋OM＝0； →→→→
③AB－AC＋BD－CD＝0； →→→→
④NQ＋QP＋MN－MP＝0.
其中一定正确的结论的个数是( ) A．1 C．3
B．2 D．4
12
→→→→→→→→→→→→→
解析：选C.①AB＋BC＋CA＝AC＋CA＝0，①正确；②AB＋MB＋BO＋OM＝AB＋MO＋OM＝AB，
6
→→→→→→→→→→→→→→→
②错；③AB－AC＋BD－CD＝CB＋BD＋DC＝CB＋BC＝0，③正确；④NQ＋QP＋MN－MP＝NP＋PN＝0，④正确．故①③④正确．
→→→→→
2．已知D为三角形ABC的边BC的中点，点P满足PA＋BP＋CP＝0，AP＝λPD，则实数
λ的值为 ．
→→→
解析：因为D为边BC的中点，所以PB＋PC＝2PD， →→→
又PA＋BP＋CP＝0， →→→→所以PA＝PB＋PC＝2PD， →→所以AP＝－2PD， 所以λ＝－2. 答案：－2
平面向量共线定理的应用(典例迁移)
设两个非零向量a与b不共线．
→→→
(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线； (2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
→→→
【解】 (1)证明：因为AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)， →→→→所以BD＝BC＋CD＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5AB， →→
所以AB，BD共线，又它们有公共点B， 所以A，B，D三点共线． (2)因为ka＋b与a＋kb共线，
所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)， 即(k－λ)a＝(λk－1)b.
又a，b是两个不共线的非零向量， 所以k－λ＝λk－1＝0，所以k－1＝0， 所以k＝±1.
【迁移探究】 (变条件)若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k为何值？
7
2
解：因为ka＋b与a＋kb反向共线，
所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)(λ<0)，
??k＝λ，所以?所以k＝±1.
?kλ＝1，?
又λ<0，k＝λ，所以k＝－1. 故当k＝－1时，两向量反向共线．
[提醒] 证明三点共线时，需说明共线的两个向量有公共点．
→→→→
1．已知向量a与b不共线，AB＝a＋mb，AC＝na＋b(m，n∈R)，则AB与AC共线的条件是( )
A．m＋n＝0 C．mn＋1＝0
B．m－n＝0 D．mn－1＝0
??1＝λn，→→
解析：选D.由AB＝a＋mb，AC＝na＋b(m，n∈R)共线，得a＋mb＝λ(na＋b)，即?
??m＝λ，
所以mn－1＝0.
→2→
2.(一题多解)(2020·广东六校第一次联考)如图，在△ABC中，AN＝NC，P是BN上一
3→→1→
点，若AP＝tAB＋AC，则实数t的值为( )
3
2A. 31C. 6
2B. 53D． 4
→2→→2→→→→→→2→→
解析：选C.通解：因为AN＝NC，所以AN＝AC.设NP＝λNB，则AP＝AN＋NP＝AC＋λNB355
8
2→→→2→→2→→→1→→?2→→?＝AC＋λ(NA＋AB)＝AC＋λ?－AC＋AB?＝λAB＋(1－λ)AC，又AP＝tAB＋AC，所以tAB5553?5?
t＝λ??1→1→2→
＋AC＝λAB＋(1－λ)AC，得?21，解得t＝λ＝，故选C. 356（1－λ）＝?53?
→2→→5→→→1→→5→
优解：因为AN＝NC，所以AC＝AN，所以AP＝tAB＋AC＝tAB＋AN，因为B，P，N三点
323651
共线，所以t＋＝1，所以t＝，故选C.
66
[基础题组练]
1．向量e1，e2，a，b在正方形网格中的位置如图所示，则a－b＝( )
A．－4e1－2e2 C．e1－3e2
B．－2e1－4e2 D．3e1－e2
解析：选C.结合图形易得，a＝－e1－4e2，b＝－2e1－e2，故a－b＝e1－3e2.
→→→→
2．已知平面内一点P及△ABC，若PA＋PB＋PC＝AB，则点P与△ABC的位置关系是( ) A．点P在线段AB上 C．点P在线段AC上
B．点P在线段BC上 D．点P在△ABC外部
→→→→→→→→→→→
解析：选C.由PA＋PB＋PC＝AB，得PA＋PB＋PC＝PB－PA，即PC＝－2PA，故点P在线段
AC上．
→→→
3．(2020·唐山二模)已知O是正方形ABCD的中心．若DO＝λAB＋μAC，其中λ，μ∈R，则＝( )
A．－2 C．－2
1B．－
2D．2
λμ1→1→→→→→→→1→
解析：选A.DO＝DA＋AO＝CB＋AO＝AB－AC＋AC＝AB－AC，所以λ＝1，μ＝－，因222此＝－2.
λμ 9
→→
4．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且BC＝3CD，点O在线段CD上(与点C，D→→→
不重合)，若AO＝xAB＋(1－x)AC，则x的取值范围是( )
?1?A.?0，? ?2??1?C.?－，0? ?2?
?1?B.?0，? ?3??1?D．?－，0? ?3?
→→→→→→→→→→→
解析：选D.设CO＝yBC，因为AO＝AC＋CO＝AC＋yBC＝AC＋y(AC－AB)＝－yAB＋(1＋
y)AC.
→→
因为BC＝3CD，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，
→
?1?所以y∈?0，?， ?3?
→→→因为AO＝xAB＋(1－x)AC，
?1?所以x＝－y，所以x∈?－，0?. ?3?
→→→1→→
5．已知平面内四点A，B，C，D，若AD＝2DB，CD＝CA＋λCB，则λ的值为 ．
312
解析：依题意知点A，B，D三点共线，于是有＋λ＝1，λ＝. 332
答案： 3
→→→
6．若|AB|＝8，|AC|＝5，则|BC|的取值范围是 ．
→→→→→→→→→
解析：BC＝AC－AB，当AB，AC同向时，|BC|＝8－5＝3；当AB，AC反向时，|BC|＝8＋5→→→→
＝13；当AB，AC不共线时，3<|BC|<13.综上可知3≤|BC|≤13.
答案：[3，13]
→→
7．已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且BC＝a，CA＝b，给出下列命111→1→→→→→
题：①AD＝a－b；②BE＝a＋b；③CF＝－a＋b；④AD＋BE＋CF＝0.
2222
其中正确命题的个数为 ．
1→→→1→→
解析：BC＝a，CA＝b，AD＝CB＋AC＝－a－b，故①错；
22→
BE＝BC＋CA＝a＋b，故②正确；
→1→
212
10
→
CF＝(CB＋CA)＝(－a＋b)
11
＝－a＋b，故③正确；
22
1111→→→
所以AD＋BE＋CF＝－b－a＋a＋b＋b－a＝0.故④正确．
2222所以正确命题的序号为②③④. 答案：3
→→
8．如图，EF是等腰梯形ABCD的中位线，M，N是EF上的两个三等分点，若AB＝a，BC＝
1→2
→
12
b，AB＝2DC.
→→
→
(1)用a，b表示AM；
(2)证明：A，M，C三点共线．
→→→→?1?1
解：(1)AD＝AB＋BC＋CD＝a＋b＋?－a?＝a＋b，
?2?2又E为AD中点， 1→1→1
所以AE＝AD＝a＋b，
242
→→
因为EF是梯形的中位线，且AB＝2DC， →1→→1?1?3所以EF＝(AB＋DC)＝?a＋a?＝a，
2?422?→1→1
又M，N是EF的三等分点，所以EM＝EF＝a，
34→→→111
所以AM＝AE＋EM＝a＋b＋a
42411
＝a＋b. 22
→2→1
(2)证明：由(1)知MF＝EF＝a，
32→→→11→
所以MC＝MF＋FC＝a＋b＝AM，
22
→→
又MC与AM有公共点M，所以A，M，C三点共线．
[综合题组练]
11
→
1．已知等边三角形ABC内接于⊙O，D为线段OA的中点，则BD＝( ) 2→1→A.BA＋BC 361→1→C.BA＋AE 63
4→1→
B.BA－BC 362→1→D．BA＋AE 33
→→→→1→→1→→→
解析：选A.如图所示，设BC的中点为E，则BD＝BA＋AD＝BA＋AE＝BA＋(AB＋BE)＝BA331→11→2→1→
－BA＋·BC＝BA＋BC.故选A. 33236
1→1→→→
2.如图，A，B分别是射线OM，ON上的点，给出下列向量：①OA＋2OB；②OA＋OB；
233→1→3→1→3→1→
③OA＋OB；④OA＋OB；⑤OA－OB.若这些向量均以O为起点，则终点落在阴影区域内(包434545括边界)的有( )
A．①② C．①③
B．②④ D．③⑤
→解析：选B.在ON上取点C，使得OC＝2OB，以OA，OC为邻边作平行四边形OCDA，则OD1→→
＝OA＋2OB，其终点不在阴影区域内，排除A，C；取OA上一点E，作AE＝OA，作EF∥OB，
4113→1→
交AB于点F，则EF＝OB，由于EF 4343D. →→ 3．(2020·广州综合测试(一))设P是△ABC所在平面内的一点，且CP＝2PA，则△PAB与△PBC的面积的比值是 ． →|CP|2→→ 解析：因为CP＝2PA，所以＝，又△PAB在边PA上的高与△PBC在边PC上的高相 →1|PA| S△PAB|PA|1 等，所以＝＝. S△PBC→2 |CP| 12 → 1答案： 2 →→→→→→ 4．(2020·江西临川一中、南昌二中5月联考)在△ABC中，BD＝DC，AP＝2PD，BP＝λAB→ ＋μAC，则λ＋μ＝ ． →→→→ 解析：因为BD＝DC，AP＝2PD，所以P为△ABC的重心． →1→1→ 易知D为BC的中点，所以AD＝AB＋AC. 22→3→1→1→ 所以AD＝AP＝AB＋AC. 222→1→1→ 所以AP＝AB＋AC. 33 2→1→→→→ 所以BP＝AP－AB＝－AB＋AC. 33 211→→→ 因为BP＝λAB＋μAC，所以λ＝－，μ＝，所以λ＋μ＝－. 3331 答案：－ 3 13
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