其中叙述错误的命题的个数为( ) A．1 C．3
B．2 D．4
解析：选C.对于②：当a＝0时，不成立；对于③：当a，b之一为零向量时，不成立；对于④：当a＋b＝0时，a＋b的方向是任意的，它可以与a，b的方向都不相同．故选C.
2．下列与共线向量有关的命题： ①相反向量就是方向相反的向量； ②a与b同向，且|a|＞|b|，则a＞b；
③两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件． 其中错误命题的序号为 ．
解析：因为相反向量是方向相反，大小相等的两个向量，所以命题①是错误的；因为向量是既有大小又有方向的量，所以任何两个向量都不能比较大小，所以命题②是错误的；因为两个向量平行不能推出两个向量相等，而两个向量相等，则这两个向量平行，因此两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件，所以命题③是正确的．
答案：①②
平面向量的线性运算(师生共研)
→1→→
(1)(一题多解)(2020·合肥市第二次质量检测)在△ABC中，BD＝BC，若AB＝a，
3
→
AC＝b，则AD＝( )
21A.a＋b 3312C.a－b 33
12B.a＋b 3321D．a－b 33
→
→→→
(2)(2020·河南八市联考改编)在等腰梯形ABCD中，AB＝2DC，点E是线段BC的中点，→→→
若AE＝λAB＋μAD，则λ＝ ，μ＝ ．
【解析】 (1)通解：如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点E，F，则四
5
→→→→1→→2→→1→→
边形AEDF为平行四边形，所以AD＝AE＋AF.因为BD＝BC，所以AE＝AB，AF＝AC，所以AD＝
3332→1→21
AB＋AC＝a＋b，故选A. 3333
2→1→21→→→→1→→1→→
优解一：AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC＝a＋b，故选A.
333333→1→→→1→→→→1→→2→1→2
优解二：由BD＝BC，得AD－AB＝(AC－AB)，所以AD＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC＝a3333331
＋b，故选A. 3
(2)取AB的中点F，连接CF，则由题意可得CF∥AD，且CF＝AD.
3→→→→1→→1→→→1?→1→?3→1→
因为AE＝AB＋BE＝AB＋BC＝AB＋(FC－FB)＝AB＋?AD－AB?＝AB＋AD，所以λ＝，
2?4222?24
μ＝.
31
【答案】 (1)A (2) 42
向量线性运算的解题策略
(1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则．
(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．
1．下列四个结论： →→→
①AB＋BC＋CA＝0； →→→→
②AB＋MB＋BO＋OM＝0； →→→→
③AB－AC＋BD－CD＝0； →→→→
④NQ＋QP＋MN－MP＝0.
其中一定正确的结论的个数是( ) A．1 C．3
B．2 D．4
12
→→→→→→→→→→→→→
解析：选C.①AB＋BC＋CA＝AC＋CA＝0，①正确；②AB＋MB＋BO＋OM＝AB＋MO＋OM＝AB，
6
→→→→→→→→→→→→→→→
②错；③AB－AC＋BD－CD＝CB＋BD＋DC＝CB＋BC＝0，③正确；④NQ＋QP＋MN－MP＝NP＋PN＝0，④正确．故①③④正确．
→→→→→
2．已知D为三角形ABC的边BC的中点，点P满足PA＋BP＋CP＝0，AP＝λPD，则实数
λ的值为 ．
→→→
解析：因为D为边BC的中点，所以PB＋PC＝2PD， →→→
又PA＋BP＋CP＝0， →→→→所以PA＝PB＋PC＝2PD， →→所以AP＝－2PD， 所以λ＝－2. 答案：－2
平面向量共线定理的应用(典例迁移)
设两个非零向量a与b不共线．
→→→
(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线； (2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
→→→
【解】 (1)证明：因为AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)， →→→→所以BD＝BC＋CD＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5AB， →→
所以AB，BD共线，又它们有公共点B， 所以A，B，D三点共线． (2)因为ka＋b与a＋kb共线，
所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)， 即(k－λ)a＝(λk－1)b.
又a，b是两个不共线的非零向量， 所以k－λ＝λk－1＝0，所以k－1＝0， 所以k＝±1.
【迁移探究】 (变条件)若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k为何值？
7
2
解：因为ka＋b与a＋kb反向共线，
所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)(λ<0)，
??k＝λ，所以?所以k＝±1.
?kλ＝1，?
又λ<0，k＝λ，所以k＝－1. 故当k＝－1时，两向量反向共线．
[提醒] 证明三点共线时，需说明共线的两个向量有公共点．
→→→→
1．已知向量a与b不共线，AB＝a＋mb，AC＝na＋b(m，n∈R)，则AB与AC共线的条件是( )
A．m＋n＝0 C．mn＋1＝0
B．m－n＝0 D．mn－1＝0
??1＝λn，→→
解析：选D.由AB＝a＋mb，AC＝na＋b(m，n∈R)共线，得a＋mb＝λ(na＋b)，即?
??m＝λ，
所以mn－1＝0.
→2→
2.(一题多解)(2020·广东六校第一次联考)如图，在△ABC中，AN＝NC，P是BN上一
3→→1→
点，若AP＝tAB＋AC，则实数t的值为( )
3
2A. 31C. 6
2B. 53D． 4
→2→→2→→→→→→2→→
解析：选C.通解：因为AN＝NC，所以AN＝AC.设NP＝λNB，则AP＝AN＋NP＝AC＋λNB355
8
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