∴∠D=180°-∠A=120°。 根据折叠的性质，可得 ∠A′D′F=∠D=120°，
∴∠FD′M=180°-∠A′D′F=60°。
∵D′F⊥CD，∴∠D′FM=90°，∠M=90°-∠FD′M=30°。
∵∠BCM=180°-∠BCD=120°，∴∠CBM=180°-∠BCM-∠M=30°。∴∠CBM=∠M。 ∴BC=CM。
设CF=x，D′F=DF=y， 则BC=CM=CD=CF+DF=x+y。∴FM=CM+CF=2x+y， 在Rt△D′FM中，tan∠M=tan30°=
D?F y33-1，∴x???y。
FM2x?y32∴
CF x3-1。故选A。 ??FDy2例2：（2012江苏扬州3分）如图，将矩形ABCD沿CE折叠，点B恰好落在边AD的F处，如果那么tan∠DCF的值是 ▲ ．
AB2?，BC3
【答案】
5。 2【考点】翻折变换(折叠问题)，翻折对称的性质，矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义。 【分析】∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠D＝90°，
∵将矩形ABCD沿CE折叠，点B恰好落在边AD的F处，∴CF＝BC，
AB2CD2?，∴?。∴设CD＝2x，CF＝3x， BC3CF3DF5x5∴DF=CF2?CD2?5x。∴tan∠DCF＝。 ?=CD2x2∵
例3：（2012贵州铜仁10分）如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctanα，即ctanα=（1）ctan30°= ；
角?的邻边AC，根据上述角的余切定义，解下列问题： ?角?的对边BC（2）如图，已知tanA=
3，其中∠A为锐角，试求ctanA的值． 4
例4：（2012江苏镇江11分）等边△ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B、C不重合），连接AP，以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE，分别与边AB、AC交于点M、N（如图1）。 （1）求证：AM=AN； （2）设BP=x。
3①若，BM=，求x的值；
8②记四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积为S，求S与x之间的函数关系式以及S的最小值；
③连接DE，分别与边AB、AC交于点G、H（如图2），当x取何值时，∠BAD=15？并判断此时以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由。
0
【答案】解：（1）证明：∵△ABC、△APD和△APE都是等边三角形，
∴AD=AP，∠DAP=∠BAC=60，∠ADM=∠APN=60。∴∠DAM=∠PAN。 ∴△ADM≌△APN（ASA），∴AM=AN。
（2）①易证△BPM∽△CAP，∴
0
0
BMBP， ?CPCA33x ∵BN=，AC=2，CP=2－x，∴8?，即4x2?8x+3=0。
82?x2 解得x=
13或x=。 22 ②四边形AMPN的面积即为四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积。 ∵△ADM≌△APN，∴S?ADM?S?APN。
∴S四边形AMPN?S?APM?S?ANP? S?APM?S?ADM?S?ADP。
如图，过点P作PS⊥AB于点S，过点D作DT⊥AP于点T，则点T是AP的中点。 在Rt△BPS中，∵∠P=60，BP=x，
0
301x，BS=BPcos60=x。
221∵AB=2，∴AS=AB－BC=2－x。
2∴PS=BPsin60=0
1?222?∴AP?AS＋PS??2?x??2?∴S?ADP?2?3?2+??2x??=x?2x+4。 ??21133?AP?DT??AP?AP=AP2。 22243232333∴S?S四边形AMPN?S?ADP?AP?x?2x+4??x?1?2+?0 444433∴当x=1时，S的最小值为。 4??③连接PG，设DE交AP于点O。 若∠BAD=15， ∵∠DAP =60，∴∠PAG =45。 ∵△APD和△APE都是等边三角形， ∴AD=DP=AP=PE=EA。 ∴四边形ADPE是菱形。 ∴DO垂直平分AP。 ∴GP=AG。∴∠APG =∠PAG =45。 0 0 0 0 ∴∠PGA =90。 设BG=t， 在Rt△BPG中，∠B=60，∴BP=2t，PG=3t。∴AG=PG=3t。 ∴3t+t=2，解得t=3－1。∴BP=2t=23－2。 ∴当BP=23－2时，∠BAD=15。 猜想：以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。 ∵四边形ADPE是菱形，∴AO⊥DE，∠ADO=∠AEH=30 0 0 0 0。 0 0 0 ∵∠BAD=15，∴易得∠AGO=45，∠HAO=15，∠EAH=45。 设AO=a，则AD=AE=2 a，OD=3a。∴DG=DO－GO=（3－1）a。 又∵∠BAD=15，∠BAC=60，∠ADO=30，∴∠DHA=∠DAH=75。 ∵DH=AD=2a， ∴GH=DH－DG=2a－（3－1）a=（3－3）a， HE=2DO－DH=23a－2a=2（3－1）a。 ∵DG2?GH2???0 0 0 0 0 ?3?1a?+?3?3a?=16?83a2， ????2??2??HE2??2??3?1a?=16?83a2， ??2??∴DG2?GH2?HE2。 ∴以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。 【考点】等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，二次函数的最值，菱形的判定和性质，勾股定理和逆定理。 【分析】（1）由△ABC、△APD和△APE都是等边三角形可得边角的相等关系，从而用ASA证明。 （2）①由△BPM∽△CAP，根据对应边成比例得等式，解方程即可。 ②应用全等三角形的判定和性质，锐角三角函数和勾股定理相关知识求得S四边形AMPN?S?ADP， 用x的代数式表示S，用二次函数的最值原理求出S的最小值。 ③由∠BAD=15得到四边形ADPE是菱形，应用相关知识求解。 求出DG、GH、HE的表达式，用勾股定理逆定理证明。 练习题： 0
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