天津科技大学2014届本科生毕业设计
A2??I,A3??A,A4?I,A5?A,,
),
即 A2k?(?1)kI,A2k?1?(?1)kA(k?1,2,故 eAt??1kkAt k?0k!??t3t5?I??t?????3!5!??A ???t2t4 ??1????2!4! ?(cost)I?(sint)A ???costsint??.
??sintcost?3.2 利用相似对角化求矩阵函数
设A?Cn?n是对角矩阵，那么必有n阶的可逆矩阵P,使
P?1AP?diag(?1,?2,?k,?n)??,
??1k?f(A)??akA??ak(P?P)?P(?ak?k)P?1k?0k?0k?0?Pdiag(?a?,?ak?,kk1k2k?0k?0??,?ak?nk)P?1k?0?则有
?Pdiag(f(?1),f(?2),,f(?n))P?1,
从而，f(At)?Pdiag(f(?1t),f(?2t),,f(?nt))P?1.
为了便于理解，这里简单介绍一下文中将会用到的可对角化矩阵、可逆矩阵、可交换矩阵和变换矩阵的相关概念。为了告诉概念清晰的对角化矩阵，首先简要说明相似矩阵的概念。设A,B都是n阶矩阵，如果存在n阶可逆矩阵P使B?P?1AP,则称矩阵A与矩阵B相似，记作AB.矩阵的相似是一种等价关系。如果n阶方阵A能与一个对角矩阵相似，称A可以对角化。n阶的方阵A能对角化的充要条件是它具备n个线性无关的特征向量。可逆矩阵是线性代数中经常用到的一种矩阵，它在线性代数中的定义为给定一个n阶的方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得AB?BA?In（或AB?In、BA?In 任意满足一个），其中In为n 阶单位矩阵，则称A是可逆的，且B 是A 的逆阵，记作A?1。如果一个方阵有乘法交换律，那么这个方阵就是可交换矩阵，用数学表达式表示就是：A?B?B?A。变换矩阵是线性代数中的一个数学概念。在线性代数中，线性变换能够用矩阵表示。如果T是能将Rn映射到Rm的一个线性变换，并且x是有n个元素的列向量 ，那么我们就可以将m×n的矩
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阵A，叫作T的变换矩阵。任何一种线性变换都能用矩阵表示，并且它更容易计算，就算有很多线性变换只要正确地使用矩阵乘法就能够将它们连接起来。如果线性变换函数的类型是T(x)，只要通过T对标准基中的任意一个向量作简单变换，最后把结果插到矩阵的列中，所以它是很容易确定的变换矩阵A，即：
?460???例 已知A???3?50?,求eAt,cosA.
??3?61???解 det(?I?A)?(??2)(??1)2,所以A的特征值为?1=-2，?2=?3=1。对应于?1=-2的特
TTT,,）-210,,）,）征向量?1=（-111；对应于?2=?3=1线性无关的特征向量?2=（，?3=（0,01，
故
?-1-20???P??110?，?101???
??200????1使得 PAP??010?.
?001????e?2t0?Atte?P于是 ?0e?00?0??0?P?1 et???2et?e?2t2et?2e?2t0?????e?2t?et2e?2t?et0?.?e?2t?et2e?2t?2etet?? ?00??cos(?2)??cosA?P?0cos10?P?1?00cos1???
0??2cos1?cos22cos1?2cos2????cos2?cos12cos2?cos10?.?cos2?cos12cos2?2cos1cos1?? ?上面介绍的是一般矩阵，一般矩阵可以通过相似对角化的方法求解矩阵函数，对一般
矩阵而言相似对角化的过程必须先求出矩阵的特征向量。当然矩阵中还有些比较特殊的矩阵，因为他们的特殊性可以将计算简化。对角矩阵就是这样的一种特殊矩阵，接着就来介
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绍求对角矩阵函数f?A?的方法。（A为一个对角矩阵或者对角矩阵的块）。
(1)矩阵函数为矩阵幂函数f?A?=Am
?d1?若A为对角矩阵，即A???????? ??dn?md2d2?d1m?则由矩阵乘法，有f?A?=Am????????f?d1??????????mdn????f?d2???? ??f?dn????A1?若A为分块对角矩阵，即A??????A1m?f?A??Am??????mA2A2???，其中Ai?i?1,2,…,s?为子块。则 ??An?f?A2???? ??f?As?????f?A1??????????Asm????
(2矩阵函数为矩阵多项式
f?A??a0I?a1A?a2A2?…+anAn
因为f?A?是几个矩阵指数函数的线性组合，它仍然可以作为（1）中的计算方法。 3.3 利用Jordan标准形法求矩阵函数
设矩阵A?Cn?n的Jordan标准形为J，即AJ?P?1AP
J,则必存在可逆矩阵P，使
从而由矩阵函数的性质4可知f?J??P?1f?A?P 所以求f?A?可以通过以下3个步骤来计算：
第一步，先求出A的Jordan标准形J，接着求相似的变换矩阵P，使得A?PJP?1； 第二步，计算f(J)
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?f(J1)?f(J)?????f(J2)???， ??f(Jk)???f(?i)??其中f(Ji)??0?????0f?(?i)f(?i)f??(?i)2!f?(?i)00f(ni?1)(?i)??(ni?1)!?f(ni?2)(?i)??
(ni?2)!???f(?i)???1?1第三步，利用f?J??Pf?A?P求出f?A??Pf?J?P
该方法的关键在于如何求Jordan标准形J，这里简单描述了怎么用初等因子法求Jordan标准形J:
文献[ 10 ]中有基本因素不变因子的定理和定义，有如下摘录：
定义3 标准形的主对角线上非零元素d1???,d2???,…,dr???称为??矩阵A???的不变因子。
定义4 把矩阵A的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的首项为1的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂（相同的必须按出现的次数计算）称为矩阵A的初等因子。
求Jordan标准形的具体方法：
1、首先求给定矩阵A的特征矩阵?I?A；
2、再求矩阵A的初等因子组??-?1?1,????2?2,…,????s?s，其中?1,?2,…,?s可能有相同的，m1,m2,…,ms中也可能有相同的，但总有?ms?n；
i?1smmm3、每个初等因子????i?i对应着一个Jordan块Ji，其阶数为mi，对角线元素为?i，即
??i?Ji?????m?i??? ???i?miJ2??? ??Js??J1?4、这些Jordan块的组合构成一个Jordan矩阵J，即J?????
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