空间向量及其加减运算〉导学案

3.1.1空间向量及其加减运算

教学目标：理解空间向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量加法、减法它们的运算律；能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 教学重点：空间向量的加减运算及运算律． 教学难点：由平面向量类比学习空间向量． 教学过程：

一、 复习引入： 平面向量有关概念： 名称 平面向量 定义 在平面中，具有______和______的量叫做空间向量，其大小叫做向量的______或____. 平面向量的表示 平面向量可以用____________表示，也可以用__________________表示； 单位向量 零向量 相等向量 相反向量 长度或模为__的向量 ________的向量 方向______且模______的向量 ______相反且____相等的向量 二．新课讲授 1．空间向量的概念. 名称 定义 在空间中，具有______和______的量叫做空间向量，其大小叫做向量的______或____. 空间向量 空间向量的表示 空间向量可以用____________表示，也可以用__________________表示； 单位向量 零向量 相等向量 相反向量 长度或模为__的向量 ________的向量 方向______且模______的向量 ______相反且____相等的向量 思考：(1)零向量与零是同一概念吗？

_______________________________________________________________________; (2)空间任意两个向量是否可能异面？

→ 讨论：相等向量？ 同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量． → 讨论：空间任意两个向量是否共面？

2. 空间向量的加法、减法的定义与平面向量的运算一样：

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→→→

OB＝OA＋AB＝________； uuuruuuruuur， AB?OB?OA＝________.（指向被减向量）

思考:（1）首尾相接的若干向量之和，等于由 起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．（如右图所示）：

A1A2+A2A3+L+An-1An=________;

⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即： uuuuruuuuuruuuuuruuuuuuruuuurA1A2?A2A3?A3A4?L?An?1An?AnA1?______;；

3. 空间向量的加法的运算律．

??r? ⑴加法交换律：a +b = b + a；

?????⑵加法结合律：(a + b) + =a+ (b + c )； 典例精析：

例1如图所示，在长、宽、高分别为AB＝3，AD＝2，AA1＝1的长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中．

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(1)单位向量共有多少个？(2)试写出模为5的所有向量． →→

(3)试写出与AB相等的所有向量．(4)试写出AA1的相反向量． 解析：

规律总结：(1)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件．

(2)熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法的运算法则及向量加法的运算律是解决好这类问题的关键．

变式1：下列说法中正确的是( )

A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反

B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b| C．空间向量的减法满足结合律 →→→

D．在四边形ABCD中，一定有AB＋AD＝AC

例2

空间向量的加减运算

如图，已知平行六面体ABCDA′B′C′D′，化简下列表达式． →→--→--→→→→→→(1)AB＋BB′－D′A′＋D′D－BC；(2)AC′－AC＋AD－AA′.

解析：

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规律总结：

(1)掌握好向量加减法的三角形法则是解决这类问题的关键，灵活应用相反向量及两向量和、差，可使这类题迅速获解，另外需注意零向量的书写要规范．

(2)利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果．

变式2．如图，在直三棱柱

→＝a，→→1＝c，则ABC－A1B1C1中，若CACB＝b，CC-A→1B＝________.

课堂小结：1.空间向量的加法符合交换律，结合律.

2.平面向量与空间向量. 空间任意两个向量都可平移到同一个平面内，成为同一平面内的向量.因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们.

巩固提升：

1.下列说法中正确的是( )

A．若|a|＝|b|，则a、b的长度相同，方向相同或相反 B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b| C．空间向量的减法满足结合律

D.在四边形ABCD中，一定有AB+AD=AC 2．判断下列说法是否正确：

（1）零向量没有方向 ( )

(2)零向量的方向不确定，所以任何两个零向量不相等 （ ） （3）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量（ ）

（4）相等的向量，若起点不同，则终点一定不同 （ ）

(5)对于空间任意两个向量，它们可能共面，也可能异面 （ ）

uuuuruuuruuur3. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，向量表达式DD1?AB?BC化简后的结果是（ ）

uuuuruuuuruuuuruuuurA. BD1 B.D1B C．B1D D.DB1

uuur→→→→

4. 如图所示 a，b是两个空间向量，则AC与A′C′与A′C′是________向量，AB与B′A′

是________向量．

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