2018年高考数学二轮复习第一部分专题一第五讲导数的应用第六讲导数的应用(二)习题

第六讲 导数的应用(二)

限时规范训练 A组——高考热点强化练

一、选择题

1．设函数f(x)在R上的导函数为f′(x)，且2f(x)＋xf′(x)>x，下面的不等式在R上恒成立的是( ) A．f(x)>0 C．f(x)>x

B．f(x)<0 D．f(x)

2

121

解析：可令f(x)＝x＋，则f(x)满足条件，验证各个选项，知B、C、D都不恒成立，故选A.

22答案：A

2．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x＋1)·f′(x)≥0，则有( ) A．f(0)＋f(－2)<2f(－1) C．f(0)＋f(－2)>2f(－1)

B．f(0)＋f(－2)≤2f(－1) D．f(0)＋f(－2)≥2f(－1)

解析：由题意得，当x≥－1时，f′(x)≥0，当x≤－1时，f′(x)≤0，∴f(x)的最小值为f(－1)，即对任意实数x，都有f(x)≥f(－1)，∴f(0)≥f(－1)，f(－2)≥f(－1)，∴f(0)＋f(－2)≥2f(－1)，故选D. 答案：D

3．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且f(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是( ) A．(－3,0)∪(3，＋∞) C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)

B．(－3,0)∪(0,3) D．(－∞，－3)∪(0,3)

解析：设h(x)＝f(x)g(x)，又h′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0知x<0时，h(x)为增函数， 又f(x)，g(x)分别是奇函数和偶函数，∴h(x)为奇函数且在(0，＋∞)上为增函数，且h(3)＝0， 所以f(x)g(x)<0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)，故选D. 答案：D

1

4．已知f(x)是定义在R上的函数，f′(x)是f(x)的导函数，且f′(x)<，f(1)＝1，则不等式

2

x1

f(x)<＋的解集为( )

22A．{x|x<－1} C．{x|x<－1或x>1}

B．{x|x>1} D．{x|－1

x1x1x1

解析：∵f(x)<＋，∴f(x)－<.令g(x)＝f(x)－，∵g(1)＝，∴g(x)

222222

1

∵g′(x)＝f′(x)－<0，∴g(x)为减函数，∴x>1.

2答案：B

5．已知函数y＝f(x)是R上的可导函数，当x≠0时，有f′(x)＋1

＋的零点个数是( )

fx>0，则函数F(x)＝xf(x)xxA．0 C．2

解析：当x≠0时，f′(x)＋

B．1 D．3

fxx＝

xfx＋fxx＝

[xfxx>0，当x>0时，

[xf(x)]′>0，则h(x)＝xf(x)在

1

(0，＋∞)上为增函数，且h(0)＝0，∴h(x)＝xf(x)＞0在(0，＋∞)上恒成立，又>0，∴F(x)>0

x在(0，＋∞)上恒成立，即F(x)在(0，＋∞)上无零点．当x<0时，[xf(x)]′<0，∴h(x)＝xf(x)在(－∞，0)上为减函数，且h(0)＝0，∴h(x)＝xf(x)>0在(－∞，0)上恒成立，所以F(x)＝xf(x)111

＋在(－∞,0)上为减函数，当x→0时，xf(x)→0，→－∞，则F(x)<0，x→－∞时，→0，xxxF(x)≈xf(x)＞0，∴F(x)在(－∞，0)上有唯一零点．

综上所述，F(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上有唯一零点，故选B. 答案：B

6．若?x，y∈[0，＋∞)，不等式4ax≤e1A. 4C．2 解析：e

x＋y－2

x＋y－2

＋e

x－y－2

＋2恒成立，则实数a的最大值是( )

B．1 1D. 2

＋e

x－y－2

＋2＝e

x－2

(e＋e)＋2≥2(e

x－2

y－yx－2

＋1)，当且仅当y＝0时等号成立．由2(e

x－2

x－2

1＋e

＋1)≥4ax，得2a≤

x－2

x1＋e

.令g(x)＝

xe

，则g′(x)＝x－x2－1

，可得g′(2)＝0，

且在(2，＋∞)上，g′(x)>0，在[0,2]上，g′(x)<0，故g(x)的最小值为g(2)＝1，所以2a≤1，1

即a≤.故选D.

2答案：D

7．设a>b>1，则下列不等式成立的是( ) A．aln b>bln a C．ae>be

baB．aln b

baln x1－ln x解析：令f(x)＝(x>0)，则f′(x)＝，令f′(x)＝0，则x＝e，当x∈(0，e)时，12

xx－ln x>0，f′(x)>0；当x∈[e，＋∞)时，1－ln x≤0，f′(x)≤0，∴函数f(x)的增区间为(0，e)，减区间为[e，＋∞)，又

ln bln aln aln be∈(1，＋∞)，∴当e>a>b时，f(b)b>e时，<，

bxaabe

即aln b>bln a，故A，B不正确．令g(x)＝，同理可知函数g(x)的增区间为[1，＋∞)，

xeeba减区间为(－∞，0)，(0,1)，∴当a>b>1时，g(a)>g(b)，即>，即ae

abab答案：D

8．设函数y＝f(x)，x∈R的导函数为f′(x)，且f(x)＝f(－x)，f′(x)

2

－1－1

2

B．ef(1)

2

－1

－12

解析：本题考查导数在函数中的应用．设g(x)＝

fxe

x，则g′(x)＝

fx－fxe

x，又因为对任意x∈R，f′(x)

1

fx－fxe

x<0恒成立，函数g(x)<

fxe

x在R上单调递减，所以g(1)

fe

<

fe

0

f－

e

－2

，即e

－

f(1)

答案：B 二、填空题

9．若函数f(x)＝x－6bx＋3b在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是________．

解析：f′(x)＝3x－6b，若f(x)在(0,1)内有极小值，则f′(0)f′(1)<0，即－6b·(3－6b)<0，1

解得0

2

23

?1?答案：?0，? ?2?

10．已知f(x)＝sin x＋2x，x∈R，且f(1－a)＋f(2a)<0，则a的取值范围是________． 解析：由f(x)＝sin x＋2x，x∈R，得f′(x)＝cos x＋2>0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上递增且是奇函数，

由f(1－a)＋f(2a)<0，即f(2a)

11．已知函数f(x)＝x(x－a)，若f(x)在(2,3)上不单调，则实数a的取值范围是________．

2