抽象函数定义域的类型及求法
函数概念及其定义域 函数的概念：设是A,B非空数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A?B为集合A到集合B的函数，记作：y?f(x),x?A。其中x叫自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值. 复合函数的定义
一般地：若y?f(u)，又u?g(x)，且g(x)值域与f(u)定义域的交集不空，则函数y?f[g(x)]叫x的复合函数，其中y?f(u)叫外层函数，u?g(x)叫内层函数，简言之：复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数.
例如: f(x)?3x?5,g(x)?x2?1； 复合函数f(g(x))即把f(x)里面的x换成g(x)，
f(g(x))?3g(x)?5?3(x2?1)?5?3x2?8
问：函数f(x)和函数f(x?5)所表示的定义域是否相同？为什么？（不相同；原因：定义域是 求x的取值范围，这里x和x?5所属范围相同，导致它们定义域的范围就不同了。
f?g(x)?f(x)一、已知
的定义域，求
的定义域
其解法是：若f(x)的定义域为a≤x≤b，则在fg(x)中，a≤g(x)≤b，从中解得x的取值范围即为fg(x)的定义域．
例1 已知函数f(x)的定义域为?15，，求f(3x?5)的定义域．
分析：该函数是由u?3x?5和f(u)构成的复合函数，其中x是自变量，u是中间变量，由于f(x)与f(u)是同一个函数，因此这里是已知?1≤u≤5，即?1≤3x?5≤5，求x的取值范围． 解：
??????410f(x)的定义域为??15，?，??1≤3x?5≤5?≤x≤．故函数f(3x?5)的定义域为
33?410?，?． ?3?3??17???3]，求f(x2?2x)定义域。??3,?2???0,1? 练习2.已知f(x)的定义域为(0，练习1.已知f(x)的定义域为?3,5?，求函数f(3x?2)的定义域；??,?
33?二、已知
f?g(x)?的定义域，求f(x)的定义域
其解法是：若fg(x)的定义域为m≤x≤n，则由m≤x≤n确定的g(x)的范围即为f(x)的定义域．
??3?，求函数f(x)的定义域． 例1.已知函数f(x?2x?2)的定义域为?0，2分析：令u?x2?2x?2，则f(x?2x?2)?f(u)，由于f(u)与f(x)是同一函数，因此u的取
2
值范围即为f(x)的定义域．
解：由0≤x≤3，得1≤x2?2x?2≤5．令u?x2?2x?2，则f(x2?2x?2)?f(u)，
1≤u≤5．
故f(x)的定义域为?15，?．
练习1若函数f?3?2x?的定义域为??1,2?，求函数f?x?的定义域??4,11? 例2.已知f(x?1)的定义域为[?2，3)，求f?x?2?的定义域。
解 由f(x?1)的定义域为[?2，3)得?2?x?3，故?1?x?1?4即得f?x?定义域为[?1，4)，从而得到?1?x?2?4，所以1?x?6故得函数f?x?2?的定义域为?1,6? 三、运算型的抽象函数
求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，然后再求交集．
例1. 若f(x)的定义域为??3，5?，求?(x)?f(?x)?f(2x?5)的定义域． 解：由f(x)的定义域为??3，5?，则?(x)必有?所以函数?(x)的定义域为??4，0???3≤?x≤5，解得?4≤x≤0．
??3≤2x?5≤5，
例2已知函数f?x?定义域为是[a,b]，且a?b?0,求函数h?x??f?x?m??f?x?m??m?0?的定义域
?a?x?m?b?a?m?x?b?m，?m?0,?a?m?a?mb?m?b?m，又???a?x?m?b?a?m?x?b?ma?m?b?m
b?a 要使函数h?x?的定义域为非空集合，必须且只需a?m?b?m，即0?m?，这时函数
2h?x?的定义域为[a?m,b?m]
解: ?总结解题模板
1.已知f(x)的定义域，求复合函数f[g?x?]的定义域
由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若f(x)的定义域为x??a,b?，求出f[g(x)]中a?g(x)?b的解x的范围，即为f[g(x)]的定义域。
2.已知复合函数f[g?x?]的定义域，求f(x)的定义域
方法是：若f[g?x?]的定义域为x??a,b?，则由a?x?b确定g(x)的范围即为f(x)的定义域。
3.已知复合函数f[g(x)]的定义域，求f[h(x)]的定义域
结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由f[g?x?]定义域求得
f?x?的定义域，再由f?x?的定义域求得f[h?x?]的定义域。
4.已知f(x)的定义域，求四则运算型函数的定义域
若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。
函 数 解 析 式 的 七 种 求 法
一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
例1 设f(x)是一次函数，且f[f(x)]?4x?3，求f(x) 解：设f(x)?ax?b (a?0)，则
f[f(x)]?af(x)?b?a(ax?b)?b?a2x?ab?b
?a?2?a2?4?a??2 ???f(x)?2x?1 或 f(x)??2x?3 或 ???b?1b?3??ab?b?3?二、
配凑法：已知复合函数f[g(x)]的表达式，求f(x)的解析式，f[g(x)]的表达式容易配成
g(x)的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数f(x)的定义域不是原复合函数的定义域，而
是g(x)的值域。
11)?x2?2 (x?0) ，求 f(x)的解析式 xx11212解：?f(x?)?(x?)?2， x??2 ?f(x)?x?2 (x?2)
xxx例2 已知f(x?三、换元法：已知复合函数f[g(x)]的表达式时，还可以用换元法求f(x)的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。
例3 已知f(x?1)?x?2x，求f(x?1) 解：令t?x?1，则t?1，x?(t?1)2 f(t)?(t?1)2?2(t?1)?t2?1,f(x?1)?x?2x
??f(x)?x2?1 (x?1)
?f(x?1)?(x?1)2?1?x2?2x (x?0)
四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。 例4已知：函数y?x?x与y?g(x)的图象关于点(?2,3)对称，求g(x)的解析式 解：设M(x,y)为y?g(x)上任一点，且M?(x?,y?)为M(x,y)关于点(?2,3)的对称点
2
?x??x?2??2?x???x?4 则?，解得：? ，?点M?(x?,y?)在y?g(x)上 ?y??x?2?x?
y??y?y??6?y??3?2?x???x?4把?代入得：6?y?(?x?4)2?(?x?4) 整理得y??x2?7x?6 ?y??6?y?g(x)??x2?7x?6
五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。
例5 设f(x)满足f(x)?2f()?x,求f(x) 解 ?f(x)?2f()?x ① 显然x?0,将x换成解① ②联立的方程组，得f(x)??1x1x111，得f()?2f(x)? ② xxxx2? 33x1,试求f(x)和g(x)的解析式 x?11 x?1例6 设f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，又f(x)?g(x)?解 ?f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，?f(?x)?f(x),g(?x)??g(x) 又f(x)?g(x)?① ，
11 即f(x)?g(x)??② x?1x?111解① ②联立的方程组，得f(x)?2， g(x)?2
x?1x?x用?x替换x得：f(?x)?g(?x)??六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量
进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。
例7 已知：f(0)?1，对于任意实数x、y，等式f(x?y)?f(x)?y(2x?y?1)恒成立，求f(x)
解
对于任意实数x、y，等式f(x?y)?f(x)?y(2x?y?1)恒成立，不妨令x?0，则有
f(?y)?f(0)?y(?y?1)?1?y(y?1)?y2?y?1 再令 ?y?x 得函数解
析式为：f(x)?x?x?1
七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭
乘或者迭代等运算求得函数解析式。
例8 设f(x)是定义在N?上的函数，满足f(1)?1，对任意的自然数a,b 都有
2f(a)?f(b)?f(a?b)?ab，求f(x)
解?
f(a)?f(b)?f(a?b)?ab，a,b?N?，?不妨令a?x,b?1，得：
f(x)?f(1)?f(x?1)?x，
又f(1)?1,故f(x?1)?f(x)?x?1 ①
f(2?)f?(1)(?2)?1n)23,上述各式相加得：将,分别令①式中的x?1,2n? 1 得：f(3?)ff(n)?fn(??f(n)?1?2?3??n?f(n)?f(1)?2?3??n，
121n(n?1) ?f(x)?x?x,x?N?2.
2221．M?{x|0?x?2},N?{y|0?y?3}给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有（ ）
A、 0个 B、 1个 C、 2个 D、3
y 2 1 O y 2 1 1 2 x O y 3 2 1 2 1 1 2 x O y 1 2 x O 1 2 x
2．求下列函数的定义域:
4x2?1 (1) y? (2) y?x (4) y=ax(a>0,a≠1) (5) y=x0
x?x?3,(x?10)3． 设函数f(x)??，则f(5)＝ ．
f(x?5),(x?10)?4.求下列函数的解析式:
2
(1)已知f(x+1)=x-3x+2，求f(x). (2)已知f(x)+2f(
1)=3x,求f(x)的解析式 x反馈型题组
5．.(08年,全国Ⅰ高考题)函数y?A．x|x≥0 C．x|x≥1x(x?1)?x的定义域为（ ）
??
B．x|x≥1
D．x|0≤x≤1?????0? ??6.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图像可能是
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