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2019届高三第三次调研测试 数学学科参考答案及评分建议
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1． 已知集合U?{?1，，，023}，A?{0，3}，则eUA? ▲ ． 【答案】{?1，2}
2． 已知复数z?a?i（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为 ▲ ． 1?3i 【答案】?3
3． 右图是一个算法流程图．若输出y的值为4，则输入x的值
为 ▲ ．
y←3? x 【答案】?1
4． 已知一组数据6，6，9，x，y的平均数是8，且xy?90，
则该组数据的方差为 ▲ ． 【答案】14
5输出y 结束 （第3题）
开始 输入x Y x≤ 1 N y←3+x 5． 一只口袋装有形状、大小都相同的4只小球，其中有3只白球，1只红球．从中1次随机 摸出2只球，则2只球都是白球的概率为 ▲ ． 【答案】1
2?x2?2x，x≥0，6． 已知函数f(x)??2 则不等式f(x)?f(?x)的解集为 ▲ ．
??x?2x，x?0， 【答案】(?2，0)(2，??)
7． 已知?an?是等比数列，前n项和为Sn．若a3?a2?4，a4?16，则S3的值为 ▲ ．
【答案】14
2y2x8． 在平面直角坐标系xOy中，双曲线2?2?1（a?0，b?0）的右准线与两条渐近线分别
ab交于A，B两点．若△AOB的面积为ab，则该双曲线的离心率为 ▲ ． 4【答案】2
9． 已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=3 cm，BC=1 cm，CD=2 cm．将此直角梯形
数学参考答案与评分细则 第1页（共14页）
绕AB边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体的体积为 ▲ cm3． 【答案】7?
3?上交点的横坐标为?， 10．在平面直角坐标系xOy中，若曲线y?sin2x与y?1tanx在?，28??则sin2?的值为 ▲ ．
【答案】?15
811．如图，正六边形ABCDEF中，若AD??AC??AE（?，??R），则???的值为 ▲ ． 【答案】4
3
A （第11题）
A E D B F C C 2 B （第12题）
? 3.5 6 12．如图，有一壁画，最高点A处离地面6 m，最低点B处离地面3.5 m．若从离地高2 m的 C处观赏它，则离墙 ▲ m时，视角?最大． 【答案】6 3?，总存在x2??2，3?，使得 13．已知函数f(x)?x2?2x?3a，g(x)?2．若对任意x1??0，x?1f(x1)≤g(x2)成立，则实数a的值为 ▲ ．
【答案】?1
314．在平面四边形ABCD中，?BAD?90?， AB?2，AD?1．若AB?AC?BA?BC?4CA?CB，
3 则CB?1CD的最小值为 ▲ ．
2【答案】26 2二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）
在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长，a(sinA?sinB)?(c?b)(sinB?sinC)． （1）求角C的值；
（2）若a?4b，求sinB的值．
数学参考答案与评分细则 第2页（共14页）
【解】（1）在△ABC中， 因为a(sinA?sinB)?(c?b)(sinB?sinC)，
由正弦定理a?b?c，
sinAsinBsinC 所以a(a?b)?(b?c)(c?b)． …… 3分
即a2?b2?c2?ab，
由余弦定理c2?a2?b2?2abcosC，得cosC?1． …… 5分
2又因为0?C?π，所以C?π． …… 7分
3（2）方法一：因为a?4b及a2?b2?c2?ab，
得c2?16b2?b2?4b2?13b2，即c?13b， …… 10分 由正弦定理
c?b，得13b?b， sinCsinBsinB32所以sinB?39． …… 14分
26方法二：由正弦定理a?b，得sinA?4sinB．
sinAsinB由A?B?C??，得sin(B?C)?4sinB， 3cosB?4sinB因为C??，所以1sinB?，
223即7sinB?3cosB． …… 11分 又因为sin2B?cos2B?1，解得，sin2B?3，
52因为在△ABC中，sinB?0，
所以sinB?39. …… 14分
26
备注：1. 第（1）小题中“正弦定理
a?b?c”必须交代，其中“正弦定理”与sinAsinBsinC“a?b?c”交代之一即可，若都不写则扣一分； sinAsinBsinC 第（1）小题中“余弦定理c2?a2?b2?2abcosC”必须交代，其中“余弦定理”与
“c2?a2?b2?2abcosC”交代之一即可，若都不写则扣一分；
2. 第（2）小题的法二中由7sinB?3cosB得出sinB?39若无过程则扣三分。
26
数学参考答案与评分细则 第3页（共14页）
16．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，平面BPC⊥平面DPC，
BP?BC，E，F分别是PC，AD的中点． 求证：（1）BE⊥CD； （2）EF∥平面PAB．
【证】（1）在△PBC中，因为BP?BC，E是PC的中点， 所以BE⊥PC． …… 2分 又因为平面BPC⊥平面DPC， 平面BPC
A P E F D B C （第16题）
平面DPC?PC，BE?平面BPC，
P 所以BE⊥平面PCD． …… 5分 又因为CD?平面DPC，
所以BE⊥CD． …… 7分 （2）取PB的中点H，连结EH，AH． 在△PBC中，又因为E是PC的中点， 所以HE∥BC，HE?1BC．…… 9分
2E H C
B A F D 又底面ABCD是平行四边形，F是AD的中点， 所以AF∥BC，AF?1BC．
2 所以HE∥AF，HE?AF， 所以四边形AFEH是平行四边形，
所以EF∥HA． …… 12分 又因为EF?平面PAB，HA?平面PAB，
所以EF∥平面PAB． …… 14分 备注：1. 证明过程中每一逻辑段若缺少条件，则该逻辑段不给分； 2. 第（2）小题证明方法比较多，其他方法酌情给分。 17．（本小题满分14分）
2y2x如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：2?2?1（a?b?0）的上顶点为A0，3，
ab??2x2?y2?a经过点M?0，1?． 圆O：4数学参考答案与评分细则 第4页（共14页）
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