（1）求椭圆C的方程；
（2）过点M作直线l1交椭圆C于P，Q两点，过点M作直线l1的垂线l2交圆O于另一点N． 若△PQN的面积为3，求直线l1的斜率． 【解】（1）因为椭圆C的上顶点为A0，3，所以b?3， 1?， 又圆O：x2?y2?1a2经过点M?0，4y A M Q ??O P N x 所以a?2． …… 2分
2y2x 所以椭圆C的方程为??1． …… 4分 43（第17题）
（2）若l1的斜率为0，则PQ?46，MN?2，
3 所以△PQN的面积为46，不合题意，所以直线l1的斜率不为0． …… 5分
3设直线l1的方程为y?kx?1，
?x2y2?1，?? 由?4消y，得(3?4k2)x2?8kx?8?0， 3??y?kx?1y1?，Q?x2，y2?， 设P?x1，22 则x1??4k?26?22k?1，x2??4k?26?22k?1，
3?4k3?4k 所以PQ?(x1?x2)2?(y1?y2)2
22461?k?2k?1． …… 8分 ?1?kx1?x2?23?4k2 直线l2的方程为y??1x?1，即x?ky?k?0，
k22． …… 11分 所以MN?21?k2?1?k1?k222461?k?2k?1?211?3， 所以△PQN的面积S?PQ?MN??22223?4k1?k 解得k??1，即直线l1的斜率为?1． …… 14分 22备注：第（2）小题的若没有讨论“若l1的斜率为0”，则扣一分（原因是直线l1的方程使用?1）。
k18．（本小题满分16分）
南通风筝是江苏传统手工艺品之一．现用一张长2 m，宽1.5 m的长方形牛皮纸ABCD裁剪
数学参考答案与评分细则 第5页（共14页）
风筝面，裁剪方法如下：分别在边AB，AD上取点E，F，将三角形AEF沿直线EF翻折到
A?EF处，点A?落在牛皮纸上，沿A?E，A?F裁剪并展开，得到风筝面AEA?F，如图1．
（1）若点E恰好与点B重合，且点A?在BD上，如图2，求风筝面ABA?F的面积； （2）当风筝面AEA?F的面积为3m2时，求点A?到AB距离的最大值．
D A? C D A? C
F F A （图1）
E B A （图2）
B（E）
【解】（1）方法一：建立如图所示的直角坐标系．
3， 0?，D0，则B?2，2y D A? ??C 直线BD的方程为3x?4y?6?0．…… 2分 b?（b?0）设F?0，，
F 因为点F到AB与BD的距离相等， 所以b?A x B（E） 4b?6，解得b?2或b??6（舍去）． …… 4分
35所以△ABF的面积为1?2?2?2m2， 233所以四边形ABA?F的面积为4m2．
3 答：风筝面ABA?F的面积为4m2． …… 6分
3方法二：设?ABF??，则?ABA??2?． 在直角△ABD中，tan2??AD?3，…… 2分
AB4?3， 所以2tan?21?tan?4D A? C
F 解得tan??1或tan???3（舍去）．
3 所以AF?ABtan??2． …… 4分
3所以△ABF的面积为1?2?2?2m2，
233A B（E）
数学参考答案与评分细则 第6页（共14页）
所以四边形ABA?F的面积为4m2．
3答：风筝面ABA?F的面积为4m2． …… 6分
3 （2）方法一：建立如图所示的直角坐标系． y0?， 设AE?a，AF?b，A??x0，y D A? C 则直线EF的方程为bx?ay?ab?0， 因为点A，A?关于直线EF对称，
?y0a?，??x0b所以?
?bx0?ay0?ab?0，??22F A E B x a2b． …… 10分 解得y0?2a2?b2 因为四边形AEA?F的面积为3，所以ab?3，
323a?23． 所以y0?4a?3a?3a3 因为0?a≤2，0?b≤3，所以23≤a≤2． …… 12分
23 设f(a)?a?33，23≤a≤2． 3a(a2?3)(a?3)(a?3)9 f?(a)?1?4?，
aa4 令f?(a)?0，得a?3或a??3（舍去）． 列表如下：
f?(a) a ?23，3? ???3?? 3 ?3，2?? + 0 极小值 f(a) 单调递减 单调递增 当a?3时，f(a)取得极小值，即最小值43，
3 所以y0的最大值为3，此时点A?在CD上，a?3，b?1．
2 答：点A?到AB距离的最大值为3m． …… 16分
2方法二：设AE?a，?AEF??，则AF?atan?．
D A?
C
数学参考答案与评分细则 第7页（共14页）F
因为四边形AEA?F的面积为3，所以AE?AF?3， 即a2tan??3，所以tan??3．
a2过点A?作AB的垂线A?T，垂足为T，
则A?T?A?E?sin2??AE?sin2??asin2? …… 10分 2?322sin?cos?2tan?a ?a?2?a??a??23． 223?1a?3sin??cos?tan??1a4a3因为0?AE≤2，0?AF≤3，所以23≤a≤2． …… 12分
23（下同方法一）
备注：第（2）小题中“23≤a≤2”与“a?3”必须有一个，若没有则扣两分。
319．（本小题满分16分）
已知数列?an?满足(nan?1?2)an?(2an?1)an?1（n≥2），bn?1?n（n?N?）．
an（1）若a1=3，证明：?bn?是等比数列；
（2）若存在k?N?，使得1，1，1成等差数列．
ak?1ak?2ak ① 求数列?an?的通项公式；
② 证明：lnn?1an?ln(n?1)?1an?1．
22【证】（1）由(nan?1?2)an?(2an?1)an?1，得1?2?2?n，
anan?1??得1?n?2?1??n?1??，即bn?2bn?1， an?an?1?b 因为a1=3，所以b1?1?1=?2?0，所以n?2（n≥2），
a13bn?1 所以?bn?是以b1为首项，2为公比的等比数列． …… 4分 【解】（2）① 设1?1??，由（1）知，bn?2bn?1，
a1 所以bn?2bn?1?22bn?2??2n?1b1，即1?n???2n?1，
an所以1???2k?1?k． …… 6分
ak 因为1，1，1成等差数列，
ak?1ak?2ak数学参考答案与评分细则 第8页（共14页）
相关推荐：
loading