则(??2k?1?k)?(??2k?1?k?2)?2(??2k?k?1)，
所以??2k?1?0，所以??0，
所以1?n，即an?1． …… 10分
ann ② 要证lnn?12an?ln(n?1)?12an?1，
即证1(an?an?1)?lnn?1n，即证1n?1n?1?2lnn?12n． 设t?n?1n，则1n?1n?1?t?1?t?1t?t?1t，且t?1， 从而只需证，当t?1时，t?1t?2lnt． 设f(x)?x?1x?2lnx（x?1），
则f?(x)?1?12x2?x?(1x?1)2?0，
所以f(x)在(1，??)上单调递增， 所以f(x)?f(1)?0，即x?1x?2lnx，
因为t?1，所以t?1t?2lnt，
所以，原不等式得证． 备注：第（1）小题中若没有交代“b11?a?1=?2?0”则扣一分；
1320．（本小题满分16分）
已知函数f(x)?ax21?lnx（a?0），e是自然对数的底数．
（1）当a?0时，求f(x)的单调增区间；
（2）若对任意的x≥1，f(x)≥2eb?1（b?R），求b2a的最大值；
（3）若f(x)的极大值为?2，求不等式f(x)?ex?0的解集． 【解】（1）f(x)的定义域为?0，e?1??e?1，???．
2ax(1?lnx)?ax2?12 由f?(x)?xax(1?lnx)(1?lnx)2?2(1?lnx)2， 令f?(x)?0，因为a?0，得x?e?12， 因为e?12?e?1，
数学参考答案与评分细则 第9页（共14页）
…… 12分
…… 16分
…… 2分
所以f(x)的单调增区间是e，??． …… 4分
（2）当a?0时，f(1)?a?0?2eb?1，不合题意；
当a?0时，令f?(x)?0，得0?x?e?1或e?1?x?e2， 所以f(x)在区间0，e?1和e?1，e 因为1?e?1，e2?1??12???12?上单调递减．
???上单调递增， ?，且f(x)在区间?e，???12?12?所以f(x)在x?e处取极小值2a，即最小值为2a． …… 6分
ee若?x≥1，f(x)≥2eb?1，则2a≥2eb?1，即a≥eb． e2不妨设b?0，则b≤b． …… 8分
aeb设g(b)?b（b?0），则g?(b)?1?bb． bee当0?b?1时，g?(b)?0；当b?1时，g?(b)?0， 1?上单调递增；在?1，???上单调递减， 所以g(b)在?0，≤1， 所以g(b)≤g(1)，即bbee?12所以b的最大值为1． …… 10分
ae （3）由（2）知，当a?0时，f(x)无极大值， 当a?0时，f(x)在0，e?1和e?1，e 所以f(x)在x?e处取极大值，
所以f(e)?2a??2，即a??e． …… 12分
e2 设F(x)?f(x)?ex，即F(x)?ex?ex，
1?lnx?12????12?上单调递增；在e2，??上单调递减，
??1??12 当x?0，e?1，1?lnx?0，所以F(x)?0； ???，F?(x)?ex? 当x??e?1，??ex(1?2lnx)， 2(1?lnx) 由（2）知，ex≤ex，又1?2lnx≤(1?lnx)2， 所以F?(x)≥0，且F(x)不恒为零， ???上单调递增． 所以F(x)在?e?1，数学参考答案与评分细则 第10页（共14页）
不等式f(x)?ex?0，即为F(x)?0?F(1)，所以e?1?x?1，
1?． …… 16分 即不等式的解集为?e?1，备注：第（1）小题中若没有交代“f(x)的定义域为0，e?1???e?1，则扣一分。 ，???”
数学Ⅱ（附加题）
21．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．A．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
?a?2??1c??1A?已知a，b，c，d?R，矩阵A??的逆矩阵??d1?．若曲线C在矩阵A对应0b????的变换作用下得到曲线y?2x?1，求曲线C的方程． ?10??a?2??1c??a?2d【解】由题意得，AA?1??，即??0b??d1???bd01???????ac?2??10????， b?01??? 所以a?1，b?1，c?2，d?0，
?1?2?即矩阵A???． …… 5分 01?? 设P(x，y)为曲线C上的任意一点，在矩阵A对应的变换作用下变为点P?(x?，y?)， ?x???1?2??x??x??x?2y， 则 ????，即 …… 8分 ???y???01yy?y.??????? 由已知条件可知，P?(x?，y?)满足y?2x?1，整理得：2x?5y?1?0，
所以曲线C的方程为2x?5y?1?0． …… 10分
B．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在直角坐标平面内，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A，B π，22，5π，曲线C的方程为??r（r?0）的极坐标分别为4，．
24????（1）求直线AB的直角坐标方程；
（2）若直线AB和曲线C有且只有一个公共点，求r的值．
π，B22，5π转化为直角坐标为A0，?2?， 【解】（1）分别将A4，?4?，B??2，24???? 所以直线AB的直角坐标方程为3x?y?4?0． …… 4分
数学参考答案与评分细则 第11页（共14页）
（2）曲线C的方程为??r（r?0），其直角坐标方程为x2?y2?r2． 又直线AB和曲线C有且只有一个公共点，即直线与圆相切， 所以圆心到直线AB的距离为4?210，
532?12即r的值为210． …… 10分
5
C．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）
已知a?R，若关于x的方程x2?4x?a?1?a?0有实根，求a的取值范围． 【解】因为关于x的方程x2?4x?a?1?a?0有实根，
所以??16?4(a?1?a)≥0，即a?1?a≤4． …… 4分 当a≥1时，2a?1≤4，得1≤a≤5； 2 当0?a?1时，1≤4，恒成立，即0?a?1；
3 当a≤0时，1?2a≤4，得?≤a≤0，
235 综上：所求a的取值范围为?≤a≤． …… 10分
22
【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出 ．．．．．．． 文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）
现有一款智能学习APP，学习内容包含文章学习和视频学习两类，且这两类学习互不影响． 已知该APP积分规则如下：每阅读一篇文章积1分，每日上限积5分；观看视频累计3分钟 积2分，每日上限积6分．经过抽样统计发现，文章学习积分的概率分布表如表1所示，视频 学习积分的概率分布表如表2所示．
表1
3 4 5 1 视频学习积分 概率 表2
文章学习积分 概率
1 2 2 4 6 1 91 91 91 621 61 31 2 （1）现随机抽取1人了解学习情况，求其每日学习积分不低于9分的概率；
（2）现随机抽取3人了解学习情况，设积分不低于9分的人数为?，求?的概率分布及
数学参考答案与评分细则 第12页（共14页）
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