（江苏版）2018年高考数学一轮复习专题9.5椭圆（讲）

2.涉及椭圆上点、焦点构成的三角形问题，往往利用椭圆定义、勾股定理或余弦定理求解.

【温馨提醒】应用椭圆的定义，可以得到结论：（1）椭圆上任意一点P(x，y)(y≠0)与两焦点F1(－c,0)，F2(c,0)构成的△PF1F2称为焦点三角形，其周长为2(a＋c)．

(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边，a2＝b2＋c2.

考点2 椭圆的标准方程

x2y2【2-1】【2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（大纲卷）】已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)ab的左右焦点为F1,F2离心率为________．

3，过F2的直线l交C与A,B两点，若△AF1B的周长为43，则C的方程为3x2y2??1 【答案】32【解析】由椭圆的定义可得，AF，BF1?BF2?2a,又因为AF1?AF2? BF1?BF2?43,1?AF2?2a所以4a?43，解得a?3，又因为e?c3222，所以c?1， b?a?c?2，所以椭圆方程为?a3x2y2??1. 32【2-2】求满足下列各条件的椭圆的标准方程： (1)长轴是短轴的3倍且经过点A?3,0?；

(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为3；

x22y2x2x2y2x2y2+y=1或+=1 (2) +=1，或+=1 【答案】 (1) 9819129912 5

【思想方法】

1．求椭圆标准方程的方法

求椭圆的标准方程，除了直接根据定义外，常用待定系数法(先定性，后定型，再定参)．

x2y2?=1 (m＞0，n＞0且m?n)，可当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设方程为

mn以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为Ax＋By＝1 (A＞0，B＞0且A≠B)，这种形式在解题中更简便． 2．椭圆的标准方程有两种形式，其结构简单，形式对称且系数的几何意义明确，在解题时要防止遗漏，要

22a2深刻理解椭圆中的几何量a,b,c,e,等之间的关系，并能熟练地应用．

c【温馨提醒】1.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤是：

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(1)作判断：根据条件判断焦点的位置．

22mx＋ny＝1 (m＞0，n＞0且m?n)． (2)设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为

(3)找关系：根据已知条件，建立关于a、b、c或m、n的方程组． (4)求解，得方程．

x2y2x2y2+2=1+2=?(?>0)22bb2．(1)方程a与a有相同的离心率．

x2y2x2y22+=1(a>b>0)+=1(a>b>0,b?k?0)2222b(2)与椭圆a共焦点的椭圆系方程为a?kb?k，恰当运用椭

圆系方程，可使运算简便． 考点3 椭圆的几何性质

x2y2【3-1】【2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（大纲卷）】已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)ab的左、右焦点为F1、F2，离心率为的方程为________．

3，过F2的直线l交C于A、B两点，若?AF1B的周长为43，则C3x2y2??1 【答案】32

x2y2??1上一点，F1,F2是椭圆的两个焦点，PF1?PF2?0,则?F1PF2面积是________．【3-2】设P是椭圆 255【答案】5

【解析】由椭圆方程可知a?5,c?25?5?25，即PF1?PF2?2a?10，F1F2?2c?45。因为

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PF1?PF2?0,，所以PF1?PF2，所以PF1?PF2?F1F2?80，因为

222(PF1?PF2)2?PF1?PF2?2PF1PF2，解得PF1PF2?10.因为PF1?PF2，所以

22S?F1PF2?1PF1PF2?5. 2【思想方法】

1.在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆的几何特征，建立关于参数c、a、b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．较多时候利用

cb2e＝ ,e?1?2解题；

aa2.对焦点三角形△F1PF2的处理方法，通常是运用

?22?（|PF|+|PF?定义式的平方12|）?(2a)??222余弦定理?|PF||PF2|cos?. ??(2c)?|PF|1+|PF2|?21??面积公式?1??S??|PF||PF2|sin?1??2【温馨提醒】1.学习中，要注意椭圆几何性质的挖掘：

(1)椭圆中有两条对称轴，“六点”(两个焦点、四个顶点)，要注意它们之间的位置关系(如焦点在长轴上

b22b22e??ca等．等)以及相互间的距离(如焦点到相应顶点的距离为a－c)，过焦点垂直于长轴的通径长为 x2y2+2=1(a>b>0)2b(2)设椭圆a上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，这时，P在短轴端点

处；当x＝a时，|OP|有最大值a，这时P在长轴端点处．

(3)椭圆上任意一点P(x，y)(y≠0)与两焦点F1(－c,0)，F2(c,0)构成的△PF1F2称为焦点三角形，其周长为2(a＋c)．

(4)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边，a2＝b2＋c2. 2．重视向量在解析几何中的应用，注意合理运用中点、对称、弦长、垂直等几何特征． 考点4 直线与椭圆的位置关系

x2y2【4-1】过椭圆2+2=1(a>b>0)左焦点F斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，向量OA?OB与向量

ab a?(3，?1)共线，则该椭圆的离心率为________．

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