2006年数学（二）考研真题及解答
一、填空题 （1）曲线y?x?4sinx的水平渐近线方程为 .
5x?2cosx?1?（2）设函数f(x)??x3??（3）广义积分
?x0sint2dt,x?0,x?0在x?0处连续，则a? .
a,???0xdx? . 22(1?x)（4）微分方程y??y(1?x)的通解是 . xy（5）设函数y?y(x)由方程y?1?xe确定，则（6）设矩阵A?? . 二、选择题
dydxA?0= . ?21??，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA?B?2E，则B=
??12?（7）设函数y?f(x)具有二阶导数，且f?(x)?0,f??(x)?0，?x为自变量x在x0处的增量，?y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若?x?0，则
（A）0?dy??y. （C）?y?dy?0.
（B）0??y?dy. （D）dy??y?0.
【 】
（8）设f(x)是奇函数，除x?0外处处连续，x?0是其第一类间断点，则
（A）连续的奇函数. （C）在x?0间断的奇函数 （9）设函数g(x)可微，h(x)?e
（A）ln3?1. （C）?ln2?1.
1?g(x)?x0f(t)dt是
（B）连续的偶函数
（D）在x?0间断的偶函数. 【 】
,h?(1)?1,g?(1)?2，则g(1)等于
（B）?ln3?1. （D）ln2?1.
【 】
x?2xx（10）函数y?C1e?C2e?xe满足一个微分方程是
（A）y???y??2y?3xe. （C）y???y??2y?3xe.
xx
?
1（B）y???y??2y?3e. （D）y???y??2y?3e.
xx（11）设f(x,y)为连续函数，则
?40d??f(rcos?,rsin?)rdr等于
0 （A）
??220dx?dy?1?x2xf(x,y)dy.
（B）
??220dx?dy?1?x20f(x,y)dy.
（C）
2201?y2yf(x,y)dx.
（D）
2201?y20f(x,y)dx. 【 】
（12）设f(x,y)与?(x,y)均为可微函数，且?1y(x,y)?0. 已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件
?(x,y)?0下的一个极值点，下列选项正确的是
（A）若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. （B）若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. （C）若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. （D）若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0.
【 】
（13）设a1,a2,L,a,均为n维列向量，A是m?n矩阵，下列选项正确的是
（A）若a1,a2,L,a,线性相关，则Aa1,Aa2,L,Aa,线性相关. （B）若a1,a2,L,a,线性相关，则Aa1,Aa2,L,Aa,线性无关. （C）若a1,a2,L,a,线性无关，则Aa1,Aa2,L,Aa,线性相关.
（D）若a1,a2,L,a,线性无关，则Aa1,Aa2,L,Aa,线性无关. 【 】
（14）设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的-1倍加到第2列得C，记
?110???P??010?，则
?001???（A）C?PAP.
（C）C?PAP.
T?1
（B）C?PAP. （D）C?PAP.
T?1三 解答题
15．试确定A，B，C的常数值，使得e(1?Bx?Cx)?1?Ax?o(x)，其中o(x)是当
x233x?0时比x3的高阶无穷小。 arcsinexdx 16．求?ex17．
18． 19．
证明: 当0 20 设函数f?u?在?0,???内具有二阶导数,且z?f?x?y22??2z?2z满足等式2?2?0 ?x?y(Ⅰ)验证f???u??f??u??0. u(Ⅱ)若f?1??0,f??1??1,求函数f?u?的表达式. ?x?l2?1,21 已知曲线L的方程为?2?y?4l?t（Ⅰ）讨论L的凹凸性； (t?0), （Ⅱ）过点（-1，0）引L的切线，求切点(x0,y0)，并写出切线的方程； （Ⅲ）求此切线与L（对应于x?x0的部分）及x轴所围成的平面图形的面积。 22 已知非齐次线性方程组 Ⅰ证明方程组系数矩阵A的秩r?A??2 Ⅱ求a,b的值及方程组的通解 23 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量?1???1,2,?1?,?2??0,?1,1?是线性方程组Ax=0的两个解, (Ⅰ)求A的特征值与特征向量 (Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得QAQ?A. TTT真题答案解析 一、填空题 （1）曲线y?x?4sinx的水平渐近线方程为 5x?2cosxy?15 ?1x2?3?sintdt,x?0（2）设函数f(x)??x0 在x=0处连续，则a= ?a,x?0???13 （3）广义积分 ?0xdx?22(1?x)12 （4）微分方程y??y(1?x)的通解是xyy?cxe?x （5）设函数y?y(x)由方程y?1?xe确定，则 当x=0时，y=1， 又把方程每一项对x求导，y???e?xey? yydydxx?0??e 二、选择题 （7）设函数y?f(x)具有二阶导数，且f?(x)?0,f??(x)?0,?x为自变量x在点x0处的增量， ?y与dy分别为f(x)在点x0处对应增量与微分,若?x?0，则[A] （A）0?dy??y （C）?y?dy?0 （B）0??y?dy （D）dy??y?0 由f?(x)?0可知f(x)严格单调增加 f??(x)?0可知f(x)是凹的 即知 （8）设f(x)是奇函数，除x?0外处处连续，x?0是其第一类间断点，则 x ?f(t)dt是[B] 0（A）连续的奇函数 （C）在x=0间断的奇函数 （B）连续的偶函数 （D）在x=0间断的偶函数 （9）设函数g(x)可微,h(x)?e （A）ln3?1 （C）?ln2?1 ∵ h?(x)?g?(x)e1?g(x)1?g(x),h?(1)?1,g?(1)?2,则g(1)等于[C] （B）?ln3?1 （D）ln2?1 1?g(1)，1?2ex?2xx（10）函数y?c1e?c2?xe满足的一个微分方程是[D] （A）y???y??2y?3xe （C）y???y??2y?3xe xx x（B）y???y??2y?3e （D）y???y??2y?3e x∵ 特征根为1和-2，故特征方程为(??1)(??2)?0 ?41（11）设f(x,y)为连续函数，则d?022??f(rcos?,rsin?)rd?等于[C] 01?x2 （A） ?dx?0x221?y2f(x,y)dy （B） ?dx?00221?y2221?x2f(x,y)dy （C） ?dy?0yf(x,y)dx （D） ?dy?00f(x,y)dx （12）设f(x,y)与?(x,y)均为可微函数，且??y(x,y)?0,已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件?(x,y)?0下的一个极值点，下列选项正确的是[D] （A）若fx?(x0,y0)?0,则fy?(x0,y0)?0 （B）若fx?(x0,y0)?0,则fy?(x0,y0)?0 （C）若fx?(x0,y0)?0,则fy?(x0,y0)?0 （D）若fx?(x0,y0)?0,则fy?(x0,y0)?0 ?(x0,y0)fy?(x0,y0)?x今 ??代入(1) 得 fx?(x0,y0)? y(x0,y0)?0,??????(x,y)??(x,y)y00y00?(x0,y0)?0则fy?(x0,y0)?0 故选[D] 今 fx?(x0,y0)?0,?fy?(x0,y0)?x三、解答题 （15）试确定A，B，C的常数值，使e(1?Bx?Cx)?1?Ax?o(x)其中o(x)是当 x233fy?(x0,y0)x?0时比x3的高阶无穷小. x2x3??o(x3)代入已知等式得 解：泰勒公式e?1?x?26x整理得 比较两边同次幂函数得 B+1=A ①
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