离散型随机变量的均值
教学目标
（1）通过实例，理解取有限值的离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义；
（2）能计算简单离散型随机变量均值（数学期望），并能解决一些实际问题． 教学重点，难点：取有限值的离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义． 教学过程 一．问题情境 1．情景：
前面所讨论的随机变量的取值都是离散的，我们把这样的随机变量称为离散型随机变量．这样刻画离散型随机变量取值的平均水平和稳定程度呢？
甲、乙两个工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产100件产品
所出的不合格品数分别用X1,X2表示，X1,X2的概率分布如下．
X10 1 2 3 pk0.7 0.1 0.1 0.1 X20 1 2 3 pk0.5 0.3 0.2 0 2．问题： 如何比较甲、乙两个工人的技术？ 二．学生活动
1． 直接比较两个人生产100件产品时所出的废品数．从分布列来看，甲出0件废
品的概率比乙大，似乎甲的技术比乙好；但甲出3件废品的概率也比乙大，似乎甲的技术又不如乙好．这样比较，很难得出合理的结论． 2． 学生联想到“平均数”，，如何计算甲和乙出的废品的“平均数”？ 3． 引导学生回顾《数学3（必修）》中样本的平均值的计算方法． 三．建构数学 1．定义
在《数学3（必修）》“统计”一章中，我们曾用公式x1p1?x2p2?...?xnpn计算样本的平均值，其中pi为取值为xi的频率值． 类似地，若离散型随机变量X的分布列或概率分布如下： … x1 x2 X … p1 p2 P xn pn 其中，pi?0,i?1,2,...,n,p1?p2?...?pn?1，则称x1p1?x2p2?...?xnpn为随机变量X的均值或X的数学期望，记为E(X)或?． 2．性质
（1）E(c)?c；（2）E(aX?b)?aE(X)?b．（a,b,c为常数）
四．数学运用 1．例题：
例1．高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏，在一个小口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．某学生一次从中摸出5个球，其中红球的个数为X，求X的数学期望．
分析：从口袋中摸出5个球相当于抽取n?5个产品，随机变量X为5个球中
的红球的个数，则X服从超几何分布H(5,10,30)．
解：由2．2节例1可知，随机变量X的概率分布如表所示： X 0 1 2 3 4 5 258480758550380070042 P 237512375123751237512375123751
从而
2584807585503800700425?1??2??3??4??5???1.66672375123751237512375123751237513 答：X的数学期望约为1.6667．
E(X)?0?rn?rrgCMCNM?M说明：一般地，根据超几何分布的定义，可以得到E(X)??． ?ngnCNNr?0n例2．从批量较大的成品中随机取出10件产品进行质量检查，若这批产品的不合格品率为0.05，随机变量X表示这10件产品中不合格品数，求随机变量X的数学期望E(X)．
解：由于批量较大，可以认为随机变量X~B(10,0.05)，
kP(X?k)?pk?C10pk(1?p)10?k,k?0,1,2,...,10
随机变量X的概率分布如表所示： 0 1 2 X 3 4 5 234501pk C10p2(1?p)8 C10p3(1?p)7 C10p4(1?p)6 C10p5(1?p)5p0(1?p)10 C10p1(1?p)9 C10X 6 7 8 9 10 67810109pk C10p6(1?p)4 C10p7(1?p)3 C10p8(1?p)2 C10p(1?p)0 p9(1?p)1 C10 故E(X)??kpk?0.5
k?010即抽10件产品出现不合格品的平均件数为0.5件．
说明：例2中随机变量X服从二项分布，根据二项分布的定义，可以得到：当
X~B(n,p) 时，E(X)?np．
例3．设篮球队A与B进行比赛，每场比赛均有一队胜，若有一队胜4场则比
1赛宣告结束，假定A,B在每场比赛中获胜的概率都是，试求需要比赛场数的
2期望．
分析：先由题意求出分布列，然后求期望 解：（1）事件“X?4”表示，A胜4场或B胜4场（即B负4场或A负4场），且两两互斥．
1111240P(X?4)?C4?()4?()0?C4?()0?()4?；
222216（2）事件“X?5”表示，A在第5场中取胜且前4场中胜3场，或B在第5场中取胜且前4场中胜3场（即第5场A负且4场中A负了3场），且这两者又是互斥的，所以
131314?3111114?14P(X?5)?C4()()?C4()()?
22222216（3）类似地，事件“X?6”、 “X?7”的概率分别为
131315?3121215?25P(X?6)?C5()()?C5()()?，
22222216131316?3131316?35P(X?7)?C6()()?C6()()?
22222216比赛场数的分布列为 X 4 5 6 7 2455 16161616P 2455故比赛的期望为E(X)?4??5??6??7??5.8125（场）
16161616这就是说，在比赛双方实力相当的情况下，平均地说，进行6场才能分出胜负． 2．练习：
据气象预报，某地区下个月有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01．现工地上有一台大型设备，为保护设备有以下三种方案： 方案1：运走设备，此时需花费3800元；
方案2：建一保护围墙，需花费2000元．但围墙无法防止大洪灾，若大洪灾来临，设备受损，损失费为60000元；
方案：不采取措施，希望不发生洪水，此时大洪水来临损失60000元，小洪水来临损失1000元．
试选择适当的标准，对3种方案进行比较． 五．回顾小结：
1．离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义； 2．离散型随机变量均值（数学期望）的计算方法；
3．超几何分布和二项分布的均值（数学期望）的计算方法．
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