电磁场习题解答

1—2—2、求下列情况下，真空中带电面之间的电压。

(2)、无限长同轴圆柱面，半径分别为a和b（b?a），每单位长度上电荷：内柱为?而外柱为??。

解：同轴圆柱面的横截面如图所示，做一长为l半径为r（a?r?b）且与同轴圆柱面共轴的圆柱体。对此圆柱体的外表面应用高斯通量定理，得

?? ?D?dS??l

s?考虑到此问题中的电通量均为er即半径方向，所以电通量对圆柱体前后两个端面的积分为0，并且在圆柱侧面上电通量的大小相等，于是

2?lrD??l

??????即 D?er， E?er

2??0r2?r由此可得 U??ba??bE?dr??????ber?erdr?ln

a2??r2??0a0

1—2—3、高压同轴线的最佳尺寸设计——高压同轴圆柱电缆，外导体的内半径为2cm，内外导体间电介质的击穿场强为200kV/cm。内导体的半径为a，其值可以自由选定但有一最佳值。因为a太大，内外导体的间隙就变得很小，以至在给定的电压下，最大的E会超过介质的击穿场强。另一方面，由于

E的最大值Em总是在内导体的表面上，当a很小时，其表面的E必定很大。

试问a为何值时，该电缆能承受最大电压？并求此最大电压。

（击穿场强：当电场增大达到某一数值时，使得电介质中的束缚电荷能够

电磁场习题解答 第 1 页

脱离它的分子 而自由移动，这时电介质就丧失了它的绝缘性能，称为击穿。某种材料能安全地承受的最大电场强度就称为该材料的击穿强度）。

解：同轴电缆的横截面如图，设同轴电缆内导体每单位长度所带电荷的电量为?，则内外导体之间及内导表面上的电场强度分别为

E?而内外导体之间的电压为

U??Edr??ab??， Emax? 2??r2??a??bdr?ln

a2??r2??ab或 U?aEmaxln()

badUb?Emax[ln()??1]?0 daabb?1?0， a??0.736cm aeb55 Umax?aEmaxln?0.736?2?10?1.47?10(V)

a即 ln

1—3—3、两种介质分界面为平面，已知?1?4?0，?2?2?0，且分界面一侧的电场强度E1?100V/m，其方向与分界面的法线成450的角，求分界面另一侧的电场强度E2的值。

电磁场习题解答 第 2 页

解：E1t?100sin450?502，E1n?100cos450?502

D1n?4?0E1n?20?002 根据 E1t?E2t，D1n?D2n得

E2t?502，D2n?200?02， E2n?D2n?1002 2?022(502)2?(1002)2?5010(V/m) 于是： E2?E2t?E2n?

1—8、对于空气中下列各种电位函数分布，分别求电场强度和电荷体密度： （1）、??Ax2 （2）、??Azyx

（3）、??Ar2sin??Bzr （4）、??Ar2nis?ocs?

解：求解该题目时注意梯度、散度在不同坐标中的表达式不同。

????????????(Ax2)?（1）、E??????(i?j?k)??i??2Axi

?x?y?z?x??Ex?Ey?Ez?Ex?????D??0(??)??0??0(?2Ax)??2A?0

?x?y?z?x?x??????????（2）、E??????(i?j?k)

?x?y?z?Axy?z?Axy?z?Axy?z ??(i?j?k)

?x?y?z?????A(yzi?xzj?xyk)

电磁场习题解答 第 3 页

????????D??0[(?Ayz)?(?Axz)?(?Axy)]?0

?x?y?z????1??????（3）、E??????[er?e??k)

?rr???z??[??1??(Ar2sin??Brz)er?(Ar2sin??Brz)e??rr??

??2 ?(Arsin??Brz)k)]?z

?????[(2Arsin??Bz)er?Arcos?e??Brk)]

?1?1?????D???0[r(2Arsin??Bz)?(Arco?s)r?rr??

??(Br)] ?z1 ???0[(4Arsin??Bz)?Asin?]

rBz???0[4Asin??)?Asin?]

r?????1???1??（4）、E??????[er?e??e?]

?rr??rnis??????1???[er(Ar2sin?cos?)?e?(Ar2sin?cos?)?rr????e?1?(Ar2sin?cos?)]

rsin????1??1??[(2Arsin?cos?)er?(Ar2cos?cos?)e??(Ar2sin?sin?)e?]

rrsin??????[(2Arsin?cos?)er?(Arcos?cos?)e??(Arsin?)e?]

电磁场习题解答 第 4 页