第六章 不等式
问题一：含参数的不等式的恒成立、恰成立、能成立问题
1 不等式恒成立问题
新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察，恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径，它常以函数、方程、不等式和数列等知识点为载体，渗透着换元、化归、分类讨论、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用．近几年的数学高考中频频出现恒成立问题，其形式逐渐多样化，但都与函数、导数知识密不可分．
解决高考数学中的恒成立问题常用以下几种方法：①函数性质法；②主参换位法；③分离参数法；④数形结合法；⑤消元转化法．下面我就以近几年高考试题为例加以剖析． 1．1 函数性质法
一、一次函数——单调性法
给定一次函数y?f?x??ax?b?a?0?，若y?f?x?在?m,n?内恒有f?x??0，则根据函数的图像（线段）（如右下图） 可得上述结论等价于（1）??a?0?a?0,或（2）??f(n)?0.?f(m)?0??f?m??0,可合并定成?
fn?0.??????f?m??0,同理，若在?m,n?内恒有f?x??0，则有???f?n??0.
例1．若不等式2x?1?m(x?1)对满足?2?m?2的所有m都成立，求x的范围．
2二、二次函数——利用判别式、韦达定理及根的分布求解
有以下几种基本类型：
类型1：设f(x)?ax?bx?c(a?0).
（1）f(x)?0在x?R上恒成立?a?0且??0；（2）f(x)?0在x?R上恒成立
2?a?0且??0．
类型2：设f(x)?ax?bx?c(a?0).
（1）当a?0时，f(x)?0在x?[?,?]上恒成立
2b?b??b????????????,?? ??2a或?或?2a2a???f(?)?0????0?f(?)?0.?f(?)?0,f(x)?0在x?[?,?]上恒成立??
?f(?)?0.??f????0,（2）当a?0时，f(x)?0在x?[?,?]上恒成立??
??f????0.b?b??b??????????,????f(x)?0在x?[?,?]上恒成立??2a 或?或2a?2a???f(?)?0????0?f(?)?0.例2．已知不等式mx2?4mx?4?0对任意实数x恒成立．则m取值范围是（ ） A．??1,0? B．??1,0? C．???,?1?
例3．已知函数f?x??2mx?2?4?m?x?1,g?x??mx，若对于任一实数x，f(x)与
2?0,??? D．??1,0?
g(x)的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是
（ ）
A．?0,2? B．?0,8? C．?2,8? D．???,0?
三、其它函数：
f(x)?0恒成立?f(x)min?0（注：若f(x)的最小值不存在，则f(x)?0恒成立
；f()x0?恒成立?f(x)max?0（注：若f(x)的最大值不存在，?f(x)的下界大于0）
则f(x)?0恒成立?f(x)的上界小于0）．
例4．（07年重庆卷理20)已知函数f(x)?axlnx?bx?c(x?0)在x?1处取得极值
44?3?c，其中a，b为常数．
（1）试确定a，b的值； （2）讨论函数f(x)的单调区间；
（3）若对任意x?0，不等式f(x)??2c恒成立，求c的取值范围．
例5.（08天津文21）设函数f(x)?x?ax?2x?b(x?R)，其中a,b?R．
4322（Ⅲ）若对于任意的a???2，（节2?，不等式f(x)?1在??11，?上恒成立，求b的取值范围．选）
例6.（09年全国卷II文21）设函数f(x)?13 x?(1?a)x2?4ax?24a，其中常数a?1．
3（II）若当x?0时，f(x)?0恒成立，求a的取值范围．（节选）
1．2 分离参数法——极端化原则
若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围．利用分离参数法来确定不等式f?x,???0（x?D，?为实参数）恒成立中参数?的取值范围的基本步骤：
（1）将参数与变量分离，即化为g????f?x?（或g????f?x?）恒成立的形式； （2）求f?x?在x?D上的最大（或最小）值；
（3）解不等式g????f(x)max(或g????f?x?min) ，得?的取值范围． 适用题型：（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出．
??x2?2x,x?0例7.（2013新课标卷Ⅰ理11）已知函数f(x)??，若|f(x)|≥ax，则a的
?ln(x?1),x?0取值范围是
A.(??,0] B.(??,1] C.[-2,1] D.[-2,0]
例8.（07年山东卷文15)当x?(1,2)时，不等式x值范围是 ．
2?mx?4?0恒成立，则m的取
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