2016届 高三数学一轮基础巩固 第11章 第4节 数学归纳法(理) 新
人教B版
一、选择题
1－an＋2
1．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N＋)，在验证n＝1成立时，
1－a左边的项是( )
A．1 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3 [答案] C
[解析] 左边项的指数规律是从第2项起指数为正整数列，故n＝1时，应为1＋a＋a2.
2．在用数学归纳法证明“2n>n2对从n0开始的所有正整数都成立”时，第一步验证的n0最小值为( )
A．1 B．3 C．5 D．7 [答案] C
[解析] n的取值与2n，n2的取值如下表： n 2n n2 1 2 1 2 4 4 3 8 9 4 16 16 5 32 25 6 64 36 … … … 由于2n的增长速度要远大于n2的增长速度，故当n>4时恒有2n>n2.
3．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是( ) A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立 B．若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立 C．若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)>k2成立 D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立 [答案] D
[解析] 对于A，f(3)≥9，加上题设可推出当k≥3时，均有f(k)≥k2成立，故A错误． 对于B，要求逆推到比5小的正整数，与题设不符，故B错误． 对于C，没有奠基部分，即没有f(8)≥82，故C错误．
对于D，f(4)＝25≥42，由题设的递推关系，可知结论成立，故选D. 4．(2014·河北冀州中学期末)如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列{an}(n∈N*)的前12项，如下表所示： a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 x1
y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4 x5 y5 x6 y6
按如此规律下去，则a2013＝( ) A．501 B．502 C．503 D．504 [答案] D
[解析] a1，a3，a5，a7，…组成的数列恰好对应数列{xn}，即xn＝a2n－1，由于a1＝1，a3n＋1
＝－1，a5＝2，a7＝－2，a9＝3，…，所以x1＝1，x3＝2，x5＝3，…，当n为奇数时，xn＝2，所以a2013＝x1007＝504.
11115．(2014·河南洛阳质检)已知f(n)＝n＋＋＋…＋n2，则( )
n＋1n＋211
A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝2＋3 111
B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝2＋3＋4 11
C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝2＋3 111
D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝2＋3＋4 [答案] D
[解析] f(n)的项数为n2－(n－1)＝n2－n＋1.
6．一个正方形被分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖去，如图(1)；再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个挖去，得图(2)；如此继续下去……则第n个图共挖去小正方形( )
A．(8n－1)个 B．(8n＋1)个 11
C.7(8n－1)个 D．7(8n＋1)个
[答案] C
[解析] 第1个图挖去1个，第2个图挖去1＋8个，第3个图挖去1＋8＋82个……第n个图挖去1＋8＋82＋…＋8n－1＝
8n－1
7个．
二、填空题
7．用数学归纳法证明命题“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，第二步假设n＝2k－1(k
∈N＋)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真． [答案] 2k＋1
8．凸k边形内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________. [答案] π
[解析] 将k＋1边形A1A2…AkAk＋1的顶点A1与Ak连接，则原k＋1边形分为k边形A1A2…Ak与三角形A1AkAk＋1，显见有f(k＋1)＝f(k)＋π. 9．(2014·江西上饶二模)如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n>l，9999
n∈N*)个点，相应的图案中总的点数记为an，则a2a3＋a3a4＋a4a5＋…＋a2013a2014＝________.
2012
[答案] 2013
[解析] 由图案的点数可知a2＝3，a3＝6，a4＝9，a5＝12，所以an＝3(n－1)，n≥2，所以 99111
＝＝＝－n，
anan＋13n－1×3nnn－1n－19999111112012
＋＋＋…＋＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝a2a3a3a4a4a5a2013a2014223201220132013. 三、解答题
10．设n∈N*，n>1，求证：1＋
111
＋＋…＋>n. 23n
1
>2＝右边． 2
111
＋＋…＋>k，那么当n＝k＋1时，23k
[证明] (1)当n＝2时，不等式左边＝1＋
(2)假设n＝k(k>1，k∈N*)时，不等式成立，即1＋有 1＋
1111
＋＋…＋＋ 23kk＋1
kk＋1＋11
＝ k＋1k＋1
>k＋
>
k2＋1k＋1＝＝k＋1. k＋1k＋1
所以当n＝k＋1时，不等式也成立． 由(1)(2)可知对任何n∈N*，n>1，
111
1＋＋＋…＋>n均成立.
23n
一、解答题
11．已知点列An(xn,0)，n∈N*，其中x1＝0，x2＝a(a>0)，A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，…An是线段An－2An－1的中点，…， (1)写出xn与xn－1、xn－2之间的关系式(n≥3)；
(2)设an＝xn＋1－xn，计算a1，a2，a3，由此推测数列{an}的通项公式，并加以证明． [解析] (1)当n≥3时，xn＝(2)a1＝x2－x1＝a，
x2＋x111
a2＝x3－x2＝2－x2＝－2(x2－x1)＝－2a， x3＋x211
a3＝x4－x3＝2－x3＝－2(x3－x2)＝4a， 1
由此推测an＝(－2)n－1a(n∈N*)． 证法1：因为a1＝a>0，且
xn＋xn－1xn－1－xn11
an＝xn＋1－xn＝－xn＝＝－(xn－xn－1)＝－2222an－1(n≥2)， 1
所以an＝(－2)n－1a. 证法2：用数学归纳法证明：
1
(1)当n＝1时，a1＝x2－x1＝a＝(－2)0a，公式成立．
1
(2)假设当n＝k时，公式成立，即ak＝(－2)k－1a成立．那么当n＝k＋1时， ak＋1＝xk＋2－xk＋1＝
xk＋1＋xk11111
－xk＋1＝－(xk＋1－xk)＝－ak＝－(－)k－1a＝(－222222)(kxn－1＋xn－2
. 2
1
＋1)－1a，公式仍成立，根据(1)和(2)可知，对任意n∈N*，公式an＝(－2)n－1a成立． 12．已知：(x＋1)n＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋an(x－1)n(n≥2，n∈N*)． (1)当n＝5时，求a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5的值．
a2
(2)设bn＝，Tn＝b2＋b3＋b4＋…＋bn.试用数学归纳法证明：当n≥2时，Tn＝
2n－3nn＋1
3
n－1
.
[解析] (1)当n＝5时，
原等式变为(x＋1)5＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋a4(x－1)4＋a5(x－1)5 令x＝2得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝35＝243. (2)因为(x＋1)n＝[2＋(x－1)]n，所以a2＝C2n·2n－2， a2bn＝＝2C2n＝n(n－1)(n≥2)．
2n－3①当n＝2时．左边＝T2＝b2＝2，
22＋12－1右边＝＝2，左边＝右边，等式成立． 3②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，等式成立，
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