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初中数学竞赛辅导资料（34）
反证法
甲内容提要
1. 反证法是一种间接的证明方法。它的根据是原命题和逆否命题是等价命
题，当一个命题不易直接证明时，釆取证明它的逆否命题。 2. 一个命题和它的逆否命题是等价命题，可表示为：A→B?B?A
例如 原命题：对顶角相等 (真命题)
逆否命题：不相等的角不可能是对顶角 (真命题) 又如 原命题：同位角相等，两直线平行 (真命题)
逆否命题：两直线不平行，它们的同位角必不相等 (真命题) 3. 用反证法证明命题，一般有三个步骤：
① 反设 假设命题的结论不成立（即假设命题结论的反面成立） ② 归谬 推出矛盾（和已知或学过的定义、定理、公理相矛盾） ③ 结论 从而得出命题结论正确
例如： 求证两直线平行。用反证法证明时
① 假设这两直线不平行；
② 从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； ③从而肯定，非平行不可。 乙例题
例1两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两直线平行
已知：如图∠1＝∠2 A 1 B 求证：AB∥CD 证明：设AB与CD不平行 C 2 D 那么它们必相交，设交点为M D
这时，∠1是△GHM的外角 A 1 M B ∴∠1＞∠2 G
这与已知条件相矛盾 2 ∴AB与CD不平行的假设不能成立 H ∴AB∥CD C 例2.求证两条直线相交只有一个交点
证明：假设两条直线相交有两个交点，那么这两条直线都经过相同的两个点，这与“经过两点有且只有一条直线”的直线公理相矛盾，所以假设不能成立，因此两条直线相交只有一个交点。 （从以上两例看出，证明中的三个步骤，最关键的是第二步——推出矛盾。
但有的题目，第一步“反设”也要认真对待）。
例3.已知：m2是3的倍数，求证：m 也是3的倍数 证明：设m 不是3的倍数，那么有两种情况：
m=3k+1或m= 3k+2 (k是整数)
当 m=3k+1时， m2＝（3k+1）2＝9k2+6k+1=3(3k2+2k)+1 当 m=3k+2时， m2＝（3k+2）2＝9k2＋12k+4=3(3k2+4k+1)+1 即不论哪一种，都推出m2不是3的倍数，这和已知条件相矛盾，所以假设不能成立。
∴ m2是3的倍数时，m 也是3的倍数 例4.求证：2不是有理数 证明：假设2是有理数，那么 ∵
a， 2＝ （a,b是互质的整数）
baa=2,∴（）2＝2， a2=2b2, ∴a2是偶数， bb∵a2是偶数， ∴a也是偶数， 设a=2k（k是整数）, a2=4k2, ∵由a2=2b2, 得 b2=
122
a=2k, b2是偶数， ∴b也是偶数 2那么a、b都是偶数，这和“a,b是互质数”的条件相矛盾，故假设不能成立 ∴2不是有理数 例5.若n是正整数，则分数
没有公约数） 证明：设
21n?4是既约分数（即最简分数，分子与分母
14n?321n?4不是既约分数，那么它的分子、分母有公约数，设公约数
14n?3ak?4?n?21n?4?ak???21为k（k≠1）, 且k,a,b都是正整数，即 ???14n?3?bk??bk?3n??14?∴
ak?4bk?3＝， 3bk-2ak=1 , (3b-2a)k=1 2114∵整数的和、差、积仍是整数，且只有乘数和被乘数都是±1时，积才能等于1 ∴3b-2a=±1, k=±1 ∴分子、分母有公约数的假设不能成立
因此分数
21n?4是既约分数
14n?3丙练习34
1.写出下列各命题结论的反面： 命题的结论 ①直线a ∥b ②线段m=n ③a2是偶数 ④∠A是锐角 ⑤点A在⊙O上 结论的反面 ⑥∠A，∠B，∠C至少有1个 大于或等于60 ⑦正整数m是5的倍数 ⑧方程没有有理数根 ⑨至少有一个方程两根不相等 ?2. 已知：平面内三个点A，B，C满足AB＋BC＝AC，
求证：A，B，C三点在同一直线上 3.求证：等腰三角形的底角是锐角 4. 求证：一个圆的圆心只有一个
5. 求证：三角形至少有一个内角大于或等于60度 6. 如果a2奇数，那么a也是奇数 （仿例3） 7. 求证：没有一个有理数的平方等于3 (仿例4)
8. 已知a,b,c都是正整数，且a2+b2=c2( 即a,b,c 是勾股数)
求证①a,b,c至少有一个偶数
② a,b,c中至少有一个能被3整除
9.求证二元一次方程8x+15y=50没有正整数解 10.求证 方程x2+y2=1991 没有整数解
11.把1600粒花生分给100只猴子，至少有4只猴子分得的花生一样多 12.已知：四边形ABCD中，AB+BD≤AC+CD 求证：AB 求证：m不论取什么值，抛物线与x轴的两个交点，不可能都落在正半轴上 14.若a,b,c都是奇数，则方程ax2+bx+c=0没有有理数根 15平面内7个点，它们之间的距离都不相等，求证不存在6个点到第7个点的距离都小于这6个点彼此之间的距离 16.已知：a,b,c为实数，a=b+c+1求证：两个方程：x2+x+b=0,x2+ax+c=0中至少有一个方程有两个不相等的实数根 答案 ① a和b相交 ②m>n或m ⑤点A在⊙O外或在⊙O内 ⑥∠A，∠B，∠C都小于60 ⑦m=5k±1，5k±2（k是整数） ⑧方程有理数根 ?b(a是整数，b是正整数，a,b互质) a⑨没有一个方程是两根不相等 2. 设A，B，C三点不在同一直线上，证明AB＋BC＞AC 4.设有两个圆心O和O1，经过O和O1的直线和圆交于A，B则…… 5. 5. ①设3个都是奇数 ②设3个都不是3的倍数，可表示为3k±1 6. 设有正整数解x=m, y=n 那么 m= 50?15n, 8 ∵ m>0, ∴n=1,2,3 但这时m都不是整数，∴…… 7. 设有整数解x=a, y=b 按奇数、偶数分类讨论 ∵右边＝1991是奇数，显然，a,b不能同偶数，也不能同奇数， 设a,b一奇一偶，a=2m, b=2n+1 (m,n 都是整数) 那么左边＝（2m）2+(2n+1)2＝4(m2+n2+n)+1 即左边是除以4余1，而右边是除以4余3，……… 11.反设：最多只有3只猴子分得一样多，…… 13.设两个交点（x1,0）,(x2,0)都在X轴的正半轴上，即x1>0, x2>0 那么x1＋x2>0,且x1x2>0 ?m－3＞0∴ ? 这个不等式组无解，即这个假设不能成立，…… ?m?0?1. 设有有理数根即a( n（n 是整数，m是正整数且m,n是互质的） mn2n)+b()+c=0, m,n不能同偶数外，按奇数、偶数分3类讨论，逐mm一否定。 2. 设点A和其他6个点B，C，D，E，F，G的距离都小于这6个点彼此 FGE这间的距离（如图） 在△ABC中，∵BC＞AB且BC＞AC，∠BAC＞60 同理∠CAD＞60……… 这与1周角＝360相矛盾…… 16. 设……则△1≤0且△2≤0…… ???
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