线段的垂直平分线及角的平分线综合运用

线段的垂直平分线及角的平分线综合运用

一、知识点回顾

1.线段垂直平分线的性质定理 定理：“线段的垂直平分线上的任意一点和这条线段的两个端点的___________”。 它揭示了线段垂直平分线上的点具有到线段两端等距离的数量特征. 2.线段垂直平分线定理的逆定理 逆定理：“和一条线段两个端点相等的点，在这条线段的__________上.”它揭示了到一条线段两端距离相等的点具有的位置特征。

3.线段的_______可以看作是和这条线段两个端点的距离相等的点的集合。 4.角平分线的性质定理 定理：“___________________________”它揭示了角平分线的点具有到角的两边等距离的数量特征.

5.角平分线性质定理的逆定理

在一个角的内部（包括顶点）且到这个角的两边距离相等的点，________________________________.

角的平分线可以看作是在这个角内部（包括顶点）到角两边的______________的集合. 二、注意点

1.线段垂直平分线成立的条件

(1)这条垂直平分线上的任意点到线段两个端点的距离相等. (2)到一线段两端点距离相等的点都在这直线上.

2.运用线段垂直平分线的性质定理及其逆定理时要注意哪些方面？

(1)要将线段垂直平分线上的点与线段两端点联结起来，才能体现“距离相等” (2)如图所示，“AB?AC,?A点在BC的垂直平分线上，?AD垂直平分BC”的推理是错误的.因为经过点A的直线有无数多条，AD不一定就是BC的垂线. 3.如何证明一条直线式一线段的垂直平分线 证明一条直线是一线段的垂直平分线，只须证明这直线上有两点分别到线段两端点的距离相等，然后根据“两点决定一条直线”的公理，可以判定这两点所确定的直线是线段的垂直平分线.

4.角平分性质定理的条件

角平分线的性质定理有两个条件：(1)点在角的平分线上；(2)过一点作角的两边的垂线，这两个条件缺一不可.因此如果已知一个点在某角的角平分线上时，常添加辅助线就是过该点作角的两边的垂线，以便利用角平分线的性质定理得到相等的线段.

5.在使用角平分线的性质定理及其逆定理时，应注意哪些方面？

(1)必须有两个垂直的条件，若缺少垂直条件时，可考虑添加辅助线；

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(2)图中有四条垂线段，要明确哪个角被平分，哪两条垂线段的长表示角平分线山上的点到角两边的距离.

三、典型例题

例1 已知：如图，AP、BP分别平分?DAB、?CBA,PE、PF分别垂直AD、BC，垂足为E、F.求证：点P在EF的垂直平分线上.

例2 如图，AD是等腰三角形ABC底边上的高，E、F为AD上两点，且?ABE??EBF??FBC,连接CF并延长交AB于点G. 求证：(1)?GBF为等腰三角形；(2)GE//BF

四、巩固练习

BC中，AB?AC?20，DE垂直平分AB、1.如图1，在?A交AC于点D，?BCD

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的周长为30，则BC的长为_____________.

BC2.如图2，在?AAB?AC，?BAC?1200,AB、AC的垂直平分线DE、FG中，

分别交BC于E、G两点.若，则EG的长为__________.

、?ACB的平分线相交于点O，3.如图3，在?ABC中，?ABC?OBC??OCB?700，则?BAO的度数为________.

（1） (2) （3）

4.?ABC的两边AB、AC的垂直平分线分别交边BC于D、E两点，且

?BAC??DAE?1500，则?BAC的度数=____________.

5.已知，如图，BD平分?ABC,AB?AC,P是BD延长线上的一点，PF?AD于点F，PG?AD于点G. 求证：PF?PG

6.已知，如图，在?ABC中，AD平分?BAC,DE//AC,EF?AD交BC的延长线于点F.

求证：?FAC??B

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7.已知，如图，PB是?ABC外角MBC的平分线，AP平分?MAN，

PM?AB,PN?AC,M、N分别为垂足.

求证：PC平分?BCN

OE、OF分别是边AB、AC的垂直平分线，?OBC、?OCB8.如图，在?ABC中，

的平分线相交于点G，判断OG与BC的位置关系，并证明你的判断.

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