2020年 人教版 初二数学下学期
平行四边形全章复习与巩固（提高）
【学习目标】
1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系.
2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些知识进行有关的证明和计算. 3. 掌握三角形中位线定理. 【知识网络】
【要点梳理】
要点一、平行四边形
1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2．性质：（1）对边平行且相等； （2）对角相等；邻角互补； （3）对角线互相平分； （4）中心对称图形. 3．面积：S平行四边形?底?高
4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形． 边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形； 对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形. 要点诠释：平行线的性质： （1）平行线间的距离都相等；
（2）等底等高的平行四边形面积相等. 要点二、矩形
1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；
2020年 人教版 初二数学下学期
（2）四个角都是直角；
（3）对角线互相平分且相等；
（4）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积：S矩形＝长?宽
４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形. （2）对角线相等的平行四边形是矩形. （3）有三个角是直角的四边形是矩形. 要点诠释：由矩形得直角三角形的性质：
（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半． 要点三、菱形
1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质； （2）四条边相等；
（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
（4）中心对称图形，轴对称图形.
3．面积：S菱形＝底?高＝对角线?对角线
24．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）四边相等的四边形是菱形.
要点四、正方形
1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 2．性质：（1）对边平行；
（2）四个角都是直角；
（3）四条边都相等；
（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；
（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； （6）中心对称图形，轴对称图形.
3．面积：S正方形=边长×边长＝
1×对角线×对角线 24．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；
（2）一组邻边相等的矩形是正方形； （3）对角线相等的菱形是正方形； （4）对角线互相垂直的矩形是正方形；
（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形； （6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.
【典型例题】
类型一、平行四边形
1、（2015?海淀区二模）如图1，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，D是BC边上一点，以AD为边作△ADE，使AE=AD，∠DAE+∠BAC=180°．
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（1）直接写出∠ADE的度数（用含α的式子表示）； （2）以AB，AE为边作平行四边形ABFE，
①如图2，若点F恰好落在DE上，求证：BD=CD； ②如图3，若点F恰好落在BC上，求证：BD=CF．
【思路点拨】（1）由在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，可求得∠BAC=180°﹣2α，又由AE=AD，∠DAE+∠BAC=180°，可求得∠DAE=2α，继而求得∠ADE的度数； （2）①由四边形ABFE是平行四边形，易得∠EDC=∠ABC=α，则可得∠ADC=∠ADE+∠EDC=90°，证得AD⊥BC，又由AB=AC，根据三线合一的性质，即可证得结论；②由在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，可得∠B=∠C=α，四边形ABFE是平行四边形，可得AE∥BF，AE=BF．即可证得：∠EAC=∠C=α，又由（1）可证得AD=CD，又由AD=AE=BF，证得结论． 【答案与解析】 解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，
∴∠BAC=180°﹣2α， ∵∠DAE+∠BAC=180°， ∴∠DAE=2α， ∵AE=AD，
∴∠ADE=90°﹣α；
（2）①证明：∵四边形ABFE是平行四边形，
∴AB∥EF．
∴∠EDC=∠ABC=α，
由（1）知，∠ADE=90°﹣α， ∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=90°， ∴AD⊥BC． ∵AB=AC， ∴BD=CD；
②证明：∵AB=AC，∠ABC=α， ∴∠C=∠B=α．
∵四边形ABFE是平行四边形， ∴AE∥BF，AE=BF． ∴∠EAC=∠C=α，
由（1）知，∠DAE=2α， ∴∠DAC=α， ∴∠DAC=∠C． ∴AD=CD． ∵AD=AE=BF， ∴BF=CD． ∴BD=CF．
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【总结升华】此题考查了平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的性质与判定．注意（2）①中证得AD⊥BC是关键，（2）②中证得AD=CD是关键．
举一反三：
【变式】已知△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，分别以AB、AC、BC为一边在BC边同侧作
正△ABD、正△ACE和正△BCF，求以A、E、F、D四点为顶点围成的四边形的面积．
【答案】
证明：∵ AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴∠BAC＝90°
∵△ABD、△ACE和△BCF为正三角形， ∴AB＝BD＝AD，AC＝AE＝CE，BC＝BF＝FC , ∠1＋∠FBA＝∠2＋∠FBA＝60° ∴∠1＝∠2
易证△BAC≌△BDF（SAS）， ∴DF＝AC＝AE＝4，∠BDF＝90° 同理可证△BAC≌△FEC ∴AB＝AD＝EF＝3
∴四边形AEFD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形） ∵DF∥AE，DF⊥BD
延长EA交BD于H点，AH⊥BD，则H为BD中点 ∴平行四边形AEFD的面积＝DF×DH＝4×类型二、矩形
3＝6. 22、如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD上的点，且AE＝BF＝CG＝DH．
（1）求证：四边形EFGH是矩形；
（2）若E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，且DG⊥AC，OF＝2cm，求矩形
ABCD的面积．
【答案与解析】
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝0B＝OC＝OD， ∵AE＝BF＝CG＝DH，
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