(易错题精选)初中数学命题与证明的难题汇编及答案

（易错题精选）初中数学命题与证明的难题汇编及答案

一、选择题

1．已知下列命题： ①若a＞b，则ac＞bc； ②若a=1，则a=a； ③内错角相等；

④90°的圆周角所对的弦是直径．

其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ） A．1个 【答案】A 【解析】 【分析】

先对原命题进行判断，再判断出逆命题的真假即可． 【详解】

解:①若a＞b，则ac＞bc是假命题，逆命题是假命题； ②若a=1，则a=a是真命题，逆命题是假命题； ③内错角相等是假命题，逆命题是假命题；

④90°的圆周角所对的弦是直径是真命题，逆命题是真命题； 其中原命题与逆命题均为真命题的个数是1个； 故选A．

点评：主要考查命题与定理，用到的知识点是互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．

B．2个

C．3个

D．4个

2．下列语句正确的个数是（ ） ①两个五次单项式的和是五次多项式 ②两点之间，线段最短

③两点之间的距离是连接两点的线段 ④延长射线AB，交直线CD于点P

⑤若小明家在小丽家的南偏东35?方向，则小丽家在小明家的北偏西35?方向 A．1 【答案】C 【解析】 【分析】

根据单项式和多项式的性质、线段的定义以及性质、射线的定义、方位角的性质对各项进行分析即可． 【详解】

B．2

C．3

D．4

①两个五次单项式的和可能为零、五次单项式或五次多项式，错误； ②两点之间，线段最短，正确；

③两点之间的距离是连接两点的线段的长度，错误； ④延长射线AB，交直线CD于点P，正确；

⑤若小明家在小丽家的南偏东35?方向，则小丽家在小明家的北偏西35?方向，正确； 故语句正确的个数有3个 故答案为：C． 【点睛】

本题考查语句是否正确的问题，掌握单项式和多项式的性质、线段的定义以及性质、射线的定义、方位角的性质是解题的关键．

3．下列命题是真命题的是（ ） A．内错角相等

B．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．相等的角是对顶角

D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】B 【解析】 【分析】

命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假，正确的命题为真命题，错误的命题为假命题． 【详解】

A、内错角相等，是假命题，故此选项不合题意；

B、平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是真命题，故此选项符合题意； C、相等的角是对顶角，是假命题，故此选项不合题意；

D、过一点有且只有一条直线与已知直线平行，是假命题，故此选项不合题意； 故选：B． 【点睛】

此题主要考查了命题与定理，关键是掌握要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．

4．已知：?ABC中，AB?AC，求证：?B?90O，下面写出可运用反证法证明这个命题的四个步骤：

①∴?A??B??C?180O，这与三角形内角和为180O矛盾,②因此假设不成立．∴

?B?90O,③假设在?ABC中，?B?90O,④由AB?AC，得?B??C?90O，即?B??C?180O．这四个步骤正确的顺序应是（ ）

A．③④②① 【答案】B 【解析】

B．③④①②

C．①②③④

D．④③①②

【分析】

根据反证法的证明步骤“假设、合情推理、导出矛盾、结论”进行分析判断即可. 【详解】

题目中“已知：△ABC中，AB=AC，求证：∠B＜90°”，用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：

应该为：(1)假设∠B≥90°，

(2)那么，由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°， (3)所以∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾， (4)因此假设不成立．∴∠B＜90°， 原题正确顺序为：③④①②， 故选B． 【点睛】

本题考查反证法的证明步骤，弄清反证法的证明环节是解题的关键.

5．下列三个命题：①对顶角相等；②全等三角形的对应边相等；③如果两个实数是正数，它们的积是正数.它们的逆命题成立的个数是( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B

【解析】【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再把逆命题进行判断即可．

【详解】①对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题错误； ②全等三角形的对应边相等的逆命题是对应边相等的两个三角形全等，正确；

③如果两个实数是正数，它们的积是正数的逆命题是如果两个数的积为正数，那么这两个数也是正数，逆命题错误，也可以有都是负数， 所以逆命题成立的只有一个， 故选B.

【点睛】本题考查了互逆命题，真命题与假命题，真命题要运用相关知识进行推导，假命题要通过举反例来进行否定.

6．下列命题中，是假命题的是（ ） A．若a>b，则-a<-b B．若a>b，则a+3>b+3

ab? 44D．若a>b，则a2>b2 【答案】D 【解析】 【分析】

C．若a>b，则

利用不等式的性质分别判断后即可确定正确的选项．

【详解】

A、若a＞b，则-a＜-b，正确，是真命题； B、若a＞b，则a+3＞b+3，正确，是真命题；

ab?，正确，是真命题； 44D、若a＞b，则a2＞b2，错误，是假命题； 故选：D． 【点睛】

C、若a＞b，则

此题考查命题与定理的知识，解题的关键是了解不等式的性质，难度不大．

7．下列语句中不正确的是（ ）

A．同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线

B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与己知直线垂直

C．如果两个三角形，两条对应边及其夹角相等，那么这两个三角形全等 D．角是轴对称图形，它的角平分线是对称轴 【答案】D 【解析】 【分析】

利用平行线的定义、垂直的定义、三角形的全等和轴对称图形分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】

A、在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，正确；

B、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故正确；

C、如果两个三角形，两条对应边及其夹角相等，那么这两个三角形全等，正确； D、角是轴对称图形，它的平分线所在直线是它的对称轴，故错误； 故选：D． 【点睛】

此题考查命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的定义、垂直的定义、三角形的全等和轴对称图形，难度不大．

8．下列说法正确的是( ) A．相等的角是对顶角

B．在平面内,经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．两条直线被第三条直线所截,内错角相等

D．在平面内,经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【解析】 【分析】

分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．

【详解】

解：相等的角不一定是对顶角，故A错误；

在平面内,经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故B错误； 两直线平行，内错角相等，故C错误；

在平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故D正确； 故答案为D. 【点睛】

此题主要考查了命题的真假判断，掌握定理并灵活运用是解题的关键.

9．下列命题是真命题的是（ ）

A．若两个数的平方相等，则这两个数相等 B．同位角相等 C．同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行 【答案】C 【解析】 【分析】

根据平方的意义，同位角的概念，平行线的判定，对顶角的概念逐一进行判断即可得． 【详解】

A． 若两个数的平方相等，则这两个数不一定相等，如22=（-2）2，但2≠-2，故A选项错误；

B． 只有两直线平行的情况下，才有同位角相等，故B选项错误； C． 同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，真命题，符合题意；

D． 相等的角不一定是对顶角，如图，∠1=∠2，但这两个角不符合对顶角的概念，故D选项错误，

D．相等的角是对顶角

故选C． 【点睛】

本题考查了命题真假的判定，涉及了乘方、同位角、对顶角、平行线的判定等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．

10．下列命题中是假命题的是( ) A．一个三角形中至少有两个锐角

B．在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行