专题1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件
1.理解命题的概念。
2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系。 3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义。
知识点一 命题及其关系 1．命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
2．四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性； ②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 知识点二 充分条件与必要条件
1．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件 p是q的既不充分也不必要条件
【特别提醒】若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A?B可得，
p?q且q?p p?q且q?p p?q p?q且q?p
p是q的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系．
提示 若A
B，则p是q的充分不必要条件；
若A?B，则p是q的必要条件； 若AB，则p是q的必要不充分条件； 若A＝B，则p是q的充要条件；
若A?B且A?B，则p是q的既不充分也不必要条件．
考点一 命题及其关系
【典例1】 (2018·北京卷)能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，则f(x)在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是________________________________________________________。
0，x＝0，??【答案】f(x)＝sin x，x∈[0，2](答案不唯一 ，再如f(x)＝?1)
，0 【解析】根据函数单调性的概念，只要找到一个定义域为[0，2]的不单调函数，满足在定义域内有唯一的最小值点，且f(x)min＝f(0). 【规律方法】 1.写一个命题的其他三种命题时，需注意： (1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写； (2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提. 2.(1)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例. (2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易时，可间接判断. 【变式1】 （2019·河北衡水第一中学模拟）命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”的逆否命题是( ) A.“若a，b，c成等比数列，则b2≠ac” B.“若a，b，c不成等比数列，则b2≠ac” C.“若b2＝ac，则a，b，c成等比数列” D.“若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列” 【解析】命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”的逆否命题是“若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列”. 【答案】D 考点二 充分条件与必要条件的判定 【典例2】【2019年高考北京文数】设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的 A．充分而不必要条件 C．充分必要条件 【答案】C 【解析】当b?0时，f(x)?cosx?bsinx?cosx，f(x)为偶函数； 当f(x)为偶函数时，f(?x)?f(x)对任意的x恒成立， 由f(?x)?cos(?x)?bsin(?x)?cosx?bsinx，得cosx?bsinx?cosx?bsinx， 则bsinx?0对任意的x恒成立， 从而b?0. 故“b?0”是“f(x)为偶函数”的充分必要条件. 故选C. 【规律方法】充要条件的三种判断方法 (1)定义法：根据p?q，q?p进行判断. (2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断. (3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题. 【变式2】【2019年高考天津文数】设x?R，则“0?x?5”是“|x?1|?1”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 【答案】B 【解析】由|x?1|?1可得0?x?2， 易知由0?x?5推不出0?x?2， 由0?x?2能推出0?x?5， 故0?x?5是0?x?2的必要而不充分条件， 即“0?x?5”是“|x?1|?1”的必要而不充分条件. B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 D．既不充分也不必要条件 故选B. 考点三 充分条件、必要条件的应用 【典例3】（2019·江苏泰州中学月考）已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要条件，求实数m的取值范围. 【解析】由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10， ∴P＝{x|－2≤x≤10}. ∵x∈P是x∈S的必要条件，则S?P. ??1－m≥－2，∴?解得m≤3. ?1＋m≤10，? 又∵S为非空集合，∴1－m≤1＋m，解得m≥0. 综上，m的取值范围是[0，3]. 【方法技巧】充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象. 【变式3】（2019·山东济南模拟） 设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，a∈R；q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0.若a<0且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 【解析】由p得(x－3a)(x－a)<0，当a<0时，3a 由q得x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0，则－2≤x≤3或x<－4或x>2，则x<－4或x≥－2. 设p：A＝(3a，a)，q：B＝(－∞，－4)∪[－2，＋∞)， 又p是q的充分不必要条件. 可知A 2 B，∴a≤－4或3a≥－2，即a≤－4或a≥－. 3 2 又∵a<0，∴a≤－4或－≤a<0， 3 2 －，0?. 即实数a的取值范围为(－∞，－4]∪??3?
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